Cel mai simplu mecanism

Cel mai simplu mecanism este un dispozitiv mecanic care schimbă direcția sau mărimea unei forțe . [2] În general, ele pot fi definite ca fiind cele mai simple instrumente care folosesc câștig mecanic (numit și pârghie ) pentru a crește rezistența. [3] De obicei, termenul se referă la cele șase mecanisme clasice cele mai simple care au fost găsite de oamenii de știință din Renaștere : [4] [5] [6]

Cel mai simplu mecanism folosește o singură forță aplicată pentru a lucra împotriva unei singure forțe de sarcină. Fără a lua în considerare pierderile prin frecare , munca efectuată asupra sarcinii este egală cu munca efectuată de forța aplicată. Mecanismul poate crește puterea de ieșire prin scăderea proporțională a distanței pe care o parcurge sarcina. Raportul dintre forța de ieșire și forța aplicată se numește câștig mecanic .

Cele mai simple mecanisme pot fi folosite pentru a obține un câștig în viteza de mișcare. În aceste cazuri, partea mobilă este conectată cu capătul lung al pârghiei (de exemplu, pistonul unui motor cu abur al unei locomotive cu abur transmite o forță mare prin biela la brațul scurt al manivelei și, ca rezultat, janta roții capătă viteză mai mare), capătul liber al palanelor etc. iar pentru a antrena mecanismul, este necesar să se aplice o forță de un număr adecvat de ori mai mare decât forța de reacție. [7]

Cele mai simple mașini pot fi considerate ca fiind „blocuri de construcție” elementare care alcătuiesc mașini din ce în ce mai complexe ( numite uneori „mașini compozite” [8] [9] ). [3] [10] De exemplu, roțile, pârghiile și blocurile sunt folosite în mecanismul unei biciclete . [11] [12] Câștigurile mecanice ale unui mecanism compozit sunt pur și simplu produsul câștigurilor mecanice ale celor mai simple mecanisme din care este compus.

Deși sunt încă de mare importanță în mecanică și știința aplicată, mecanica modernă a depășit noțiunea celor mai simple mecanisme ca blocuri de construcție minime care alcătuiesc toate mașinile , care au apărut în timpul Renașterii ca o extensie neoclasică a textelor grecești antice . Aceste șase categorii nu descriu în mod adecvat varietatea vastă și sofisticarea conexiunilor mecanice moderne care au apărut în timpul Revoluției Industriale . Diferiți autori post-Renaștere au compilat liste extinse de „mecanisme primitive”, folosind adesea termeni precum mașini de bază , [11] mașini compuse [8] sau elemente de mașină pentru a le distinge de mecanismele primitive clasice descrise mai sus. Până la sfârșitul anilor 1800, Franz Reuleaux [13] identificase sute de elemente de mașină, numindu-le mașini simple . [14] Teoria modernă a mașinilor analizează mașinile ca lanțuri cinematice constând din legături elementare numite perechi cinematice .

Istorie

Ideea celui mai simplu mecanism a apărut de la filozoful grec Arhimede în jurul secolului al III-lea î.Hr., care studia cele mai simple mecanisme arhimediene : pârghia, blocul și șurubul . El a descoperit principiul câștigului mecanic pentru pârghie. [15] Celebra remarcă a lui Arhimede despre pârghie: „Dă-mi un loc pe care să stau și voi mișca pământul” ( greacă δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ) [16] exprimă înțelegerea că nu există limită. coeficientul de transmisie care poate fi realizat cu ajutorul castigului mecanic. Ulterior, filozofii greci au identificat cele mai simple cinci mecanisme clasice (cu excepția planului înclinat ) și au putut să calculeze câștigul lor mecanic (ideal). [9] De exemplu, Eroul Alexandriei (c. 10-75 d.Hr.), în lucrarea sa Mecanica, enumeră cinci mecanisme care pot „pune o sarcină în mișcare”; pârghie , șantin, bloc , pană și șurub și descrie fabricarea și utilizarea acestora. Cu toate acestea, înțelegerea grecilor era limitată la statica celor mai simple mecanisme (echilibrul puterii) și nu includea dinamica , compromisul dintre forță și distanță sau conceptul de muncă .

În timpul Renașterii, dinamica forțelor mecanice , așa cum erau numite cele mai simple mașini, a început să fie luată în considerare în ceea ce privește cât de departe puteau ridica o sarcină, în plus față de forța pe care o puteau aplica, conducând în cele din urmă la noul concept de lucru mecanic. . În 1586 inginerul flamand Simon Stevin a câștigat avantajul mecanic al planului înclinat și a fost încorporat în alte mașini simple. O teorie dinamică completă a celor mai simple mecanisme a fost dezvoltată de omul de știință italian Galileo Galilei în 1600 în tratatul Le Meccaniche ( Despre mecanică ), în care a arătat că creșterea forței stă la baza similitudinii matematice a acestor mecanisme. [17] [18] El a fost primul care a explicat că cele mai simple mașini nu creează energie , ci doar o transformă.

Regulile clasice pentru frecarea de alunecare în mașini au fost descoperite de Leonardo da Vinci (1452-1519), dar ele nu au fost publicate și pur și simplu documentate în caietele sale și s-au bazat pe știința pre-newtoniană, cum ar fi credința în frecare ca fluid eteric . Ele au fost redescoperite de Guillaume Amonton (1699) și dezvoltate în continuare de Charles-Augustin de Coulomb (1785). [19]

Tipuri ale celor mai simple mecanisme

Se obișnuiește să se distingă opt mecanisme simple, dintre care patru sunt o variație a celor două principale:

Un plan înclinat este un mecanism simplu sub forma unui plan așezat la un unghi ascuțit față de o suprafață orizontală.
- Wedge - vă permite să creșteți presiunea datorită concentrației de forță într-o zonă mică. Folosit într- o suliță , lopată , glonț etc.
- Șurub - folosit în șuruburi și pentru ridicarea apei ( șurub Arhimede ), ca burghiu în burghie etc.
Pârghie - descrisă de Arhimede . Este folosit, în special, pentru ridicarea greutăților, ca întrerupătoare și declanșatoare ( biela-manivelă - folosit în războaie, mașină cu abur , motoare cu ardere internă ).
- Poartă - folosită pentru ridicarea apei în puțuri și pentru transmisia cu curele etc.
- Bloc - o roată cu o canelură prin care trece o frânghie, un cablu sau un lanț. Folosit pentru a schimba magnitudinea sau direcția unei forțe.
Roată - folosită în vehicule și viteze . Cele mai timpurii descoperiri de roți se găsesc pe teritoriul României moderne (cultura neolitică de la Cucuteni - Tripoli ) și datează din ultimul sfert al mileniului al V-lea î.Hr. e. [douăzeci]
Piston - vă permite să utilizați energia expansiunii gazelor încălzite sau aburului . Se aplică în special armelor de foc , motorului cu ardere internă și motorului cu abur .

Mecanismul simplu ideal

Dacă cel mai simplu mecanism nu disipă energia din cauza frecării, uzurii sau deformării, atunci energia este conservată și se numește cel mai simplu mecanism ideal. În acest caz, puterea furnizată mașinii este egală cu puterea de ieșire, iar câștigul mecanic poate fi calculat pe baza dimensiunilor sale geometrice.

Deși fiecare mașină funcționează mecanic diferit, matematic funcționează la fel. [21] În fiecare mașină, forța aplicată dispozitivului într-un punct, duce la efectuarea muncii de deplasare a sarcinii prin forță în alt punct. [22] Deși unele mașini schimbă doar direcția forței, cum ar fi un bloc fix, majoritatea mașinilor măresc forța cu un factor egal cu câștigul mecanic. $F_{\text{in}}\,$ $F_{\text{out}}\,$

\mathrm {MA} =F_{\text{out}}/F_{\text{in}}\,

care poate fi calculat din geometria mașinii și frecare.

Cele mai simple mecanisme nu conțin o sursă de energie [23] , așa că nu pot lucra mai mult decât primesc de la forța care vine. [22] Cel mai simplu mecanism fără frecare și elasticitate se numește cel mai simplu mecanism ideal . [24] [25] [26] Datorită conservării energiei mecanice într-un mecanism simplu ideal, puterea de ieșire (rata de schimbare a energiei) în orice moment este egală cu puterea de intrare $P_{\text{out}}\,$ $P_{\text{in}}\,$

P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\!

Puterea de ieșire este egală cu viteza de sarcină înmulțită cu forța de sarcină . În mod similar, puterea de intrare de la o forță aplicată este egală cu viteza punctului de intrare înmulțit cu forța aplicată . Prin urmare, $v_{\text{out}}\,$ $P_{\text{out}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}\!$ $v_{\text{in}}\,$ $P_{\text{in}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\!$

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Deci, câștigul mecanic al unei mașini ideale este egal cu raportul dintre viteze , raportul dintre viteza de intrare și viteza de ieșire $\mathrm {MA} _{\text{ideal}}\,$

\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={v_{\text{in}} \over v_ {\text{out}}}\,

Raportul vitezelor este, de asemenea, egal cu raportul distanțelor parcurse într-o anumită perioadă de timp [27] [28] [29]

{v_{\text{out}} \over v_{\text{in}}}={d_{\text{out}} \over d_{\text{in}}}\,

Prin urmare, câștigul mecanic al unui mecanism ideal este, de asemenea, egal cu raportul dintre distanța parcursă la intrare și distanța parcursă la ieșire.

$\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={d_{\text{in}} \over d_ {\text{out}}}\,$

Poate fi calculat pe baza geometriei mecanismului. De exemplu, câștigul mecanic și raportul distanței pentru o pârghie este egal cu raportul dintre brațele pârghiei .

Câștigul mecanic poate fi mai mare sau mai mic decât unu:

Dacă forța de ieșire este mai mare decât cea de intrare, mașina acționează ca un amplificator, dar distanța pe care o parcurge sarcina este mai mică decât distanța parcursă de forța de intrare . $\mathrm {MA} >1\,$ $d_{\text{out}}\,$ $d_{\text{in}}\,$
Dacă forța de ieșire este mai mică decât forța de intrare, dar distanța pe care o mișcă sarcina este mai mare decât distanța deplasată de forța de intrare. $\mathrm {MA} <1\,$

Pentru o elice care utilizează mișcare de rotație, forța de intrare trebuie înlocuită cu cuplul și viteza cu viteza unghiulară a arborelui.

Frecare și eficiență

Toate mașinile reale sunt supuse frecării, care disipează o parte din puterea de intrare sub formă de căldură. Dacă notăm puterea pierdută la frecare datorită legii conservării energiei $P_{\text{fric}}\,$

P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{fric}}\,

Eficiența mecanică a unei mașini (unde ) este definită ca raportul dintre puterea de ieșire și puterea de intrare și este o măsură a pierderii de energie prin frecare. $\eta \,$ $0<\eta \ <1$

\eta \equiv {P_{\text{out}} \over P_{\text{in}}}\,

P_{\text{out}}=\eta P_{\text{in}}\,

Ca mai sus, puterea este produsul forței și vitezei, deci

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=\eta F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Prin urmare,

$\mathrm {MA} = {F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}=\eta {v_{\text{in}} \over v_{\text{out} }}\,$

Astfel, la mașinile neideale, câștigul mecanic este întotdeauna mai mic decât raportul vitezei la coeficientul η . Astfel, un mecanism cu frecare nu va putea deplasa o sarcină la fel de mare ca mecanismul ideal corespunzător folosind aceeași forță de intrare.

Mecanisme compozite

Un mecanism compus este o mașină compusă dintr-un set de mecanisme simple conectate în serie, forța de ieșire a unuia furnizând forța de intrare a celuilalt. De exemplu, o menghină de masă constă dintr-o pârghie (mâner de menghină) conectată în serie cu un șurub, în timp ce un tren de angrenaj simplu este format dintr-o serie de roți dințate ( roți și osii ) conectate în serie.

Vârful mecanic al unui mecanism compus este raportul dintre forța de ieșire aplicată ultimului mecanism din serie și forța de intrare aplicată primului mecanism, adică.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{outN}} \over F_{\text{in1}}}\,

Deoarece forța de ieșire a fiecărui mecanism joacă rolul unei forțe de intrare pentru următorul , acest câștig mecanic este asigurat și de acțiunea întregului lanț de mecanisme. $F_{\text{out1)}=F_{\text {in2)),\;F_{\text{out2)}=F_{\text{in3)),\ldots \;F_{\text{ outK}}=F_{\text{inK+1}}$

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{out1}} \over F_{\text{in1}}}{F_{\text{out2}} \over F_{ \text{in2}}}{F_{\text{out3}} \over F_{\text{in3}}}\ldots {F_{\text{outN}} \over F_{\text{inN}}}\ ,

Astfel, câștigul mecanic al unui mecanism compozit este egal cu produsul câștigurilor mecanice ale unei serii de mecanisme simple care îl formează.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}=\mathrm {MA} _{1}\mathrm {MA} _{2}\ldots \mathrm {MA} _{\text{N}} \,

În mod similar, eficiența unui mecanism compus este, de asemenea, produsul eficienței numărului de mecanisme simple care îl compun.

\eta _{\text{compound}}=\eta _{1}\eta _{2}\ldots \;\eta _{\text{N}}.\,

Mecanisme de autoblocare

În multe mecanisme simple, dacă forța de sarcină F în afara mecanismului este suficient de mare în raport cu forța de intrare F în , atunci mecanismul se va deplasa înapoi, în timp ce forța de sarcină va crea lucru cu forța de intrare. [30] Astfel, aceste mecanisme pot fi utilizate în orice direcție, cu forța motrice aplicată în orice punct. De exemplu, dacă forța de sarcină asupra pârghiei este suficient de mare, atunci pârghia se va deplasa înapoi, mișcând pârghia de intrare în direcția opusă forței de intrare (suprabalansare). Ele sunt numite mecanisme „ reversibile ” sau „ neblocante ”.

Cu toate acestea, în unele mecanisme, dacă forțele de frecare sunt suficient de mari, nicio forță de sarcină nu le poate muta înapoi, chiar dacă forța de intrare este zero. Acesta se numește mecanism „autoblocat”, „ireversibil” . [30] Aceste mecanisme pot fi puse în mișcare doar de o forță de intrare, iar atunci când forța de intrare este îndepărtată, ele vor rămâne nemișcate, „blocate” prin frecare, în orice poziție în care sunt oprite.

Autoblocarea are loc în principal în mecanismele cu zone mari de contact de alunecare a pieselor mobile: șurub , plan înclinat și pană :

Cel mai comun exemplu este un șurub. La majoritatea elicelor, aplicarea cuplului arborelui îl poate determina să se rotească, mișcând arborele liniar pentru a lucra împotriva sarcinii, dar nicio cantitate de sarcină axială pe arbore nu va determina întoarcerea acestuia.
Într-un plan înclinat, o sarcină poate fi ridicată în sus de plan printr-o forță de intrare laterală, dar dacă planul nu este prea abrupt și există suficientă frecare între sarcină și plan, atunci când forța de intrare este îndepărtată, sarcina va rămâne staționar și nu va aluneca pe suprafață, indiferent de greutatea acesteia. .
O pană poate fi introdusă într-un bloc de lemn cu o forță la capăt, cum ar fi lovind-o cu un baros, împingând blocul, dar nici o cantitate de compresie din pereții de lemn îl va face să iasă înapoi din bloc.

Mașina se va autobloca dacă și numai dacă eficiența sa η este sub 50%: [30]

\eta \equiv {\frac {F_{out}/F_{in}}{d_{in}/d_{out}}}<0,50\,

Dacă un mecanism va fi autoblocat depinde atât de forțele de frecare ( coeficientul de frecare statică ) dintre părțile sale, cât și de raportul distanței d in /d out (castig mecanic ideal). Dacă atât frecarea, cât și câștigul mecanic ideal sunt suficient de mari, atunci se autoblochează.

Dovada

Când mecanismul se mișcă în direcția înainte de la punctul 1 la punctul 2, în timp ce forța de intrare lucrează cu forța de sarcină, atunci din legea conservării energiei [31] [32] munca de intrare va fi egală cu suma lui munca efectuată cu forța de sarcină și munca pierdută din cauza frecării $W_{\text{1,2}}\,$ $W_{\text{încărcare}}\,$ $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{1,2}}=W_{\text{încărcare}}+W_{\text{fric}}

Dacă eficiența este sub 50% $\eta =W_{\text{încărcare}}/W_{\text{1,2}}<1/2\,$

2W_{\text{încărcare}}<W_{\text{1,2}}\,

Din Ec. unu

2W_{\text{încărcare}}<W_{\text{încărcare}}+W_{\text{fric}}\,

W_{\text{încărcare}}<W_{\text{fric}}\,

Când mecanismul se deplasează înapoi de la punctul 2 la punctul 1 sau când forța de sarcină lucrează asupra forței de intrare, energia se pierde din cauza frecării. . În mod similar $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{load}}=W_{\text{2,1}}+W_{\text{fric}}\,

Astfel, lucrul de ieșire

W_{\text{2,1}}=W_{\text{încărcare}}-W_{\text{fric}}<0\,

Mecanismul este astfel autoblocant deoarece munca disipată prin frecare este mai mare decât munca efectuată de forța de sarcină care o deplasează înapoi, chiar și în absența unei forțe de intrare.

Teoria mecanismului modern

Mașinile sunt considerate sisteme mecanice, constând din acționări și mecanisme simple care transmit forțe și mișcare, controlate de senzori și controlere. Componentele actuatoarelor și mecanismelor constau din verigi și balamale care formează lanțuri cinematice.

Lanțuri cinematice

Cele mai simple mecanisme sunt exemple elementare de lanțuri cinematice care sunt utilizate pentru modelarea sistemelor mecanice, de la mașini cu abur la brațe robotizate. Rulmenții care formează axa brațului și permit roții, axei și blocurilor să se rotească sunt exemple de pereche cinematică numită pivot. De asemenea, o suprafață plană a unui plan înclinat și o pană ar fi exemple de pereche cinematică numită articulație de alunecare. Un șurub este de obicei denumit propria sa pereche cinematică, numită articulație elicoidală.

Două pârghii sau manivele sunt combinate într-un sistem plat de legătură cu patru bare prin atașarea unei pârghii care conectează ieșirea unei manivele la intrarea celeilalte. Link-uri suplimentare pot fi atașate pentru a forma o legătură cu șase link-uri sau în serie pentru a forma un robot. [25]

Clasificarea mecanismelor

Identificarea celor mai simple mecanisme apare din dorința de a crea o metodă sistematică pentru inventarea de noi mașini. Astfel, o problemă importantă este modul în care mecanismele simple sunt combinate pentru a crea mecanisme mai complexe. O abordare este de a conecta mecanisme simple în serie pentru a obține mașini complexe.

Cu toate acestea, o idee mai de succes a fost prezentată de Franz Reuleaux , care a colectat și studiat peste 800 de mașini elementare. Și-a dat seama că pârghia, scripetele, roata și axa sunt, de fapt, unul și același dispozitiv: un corp care se rotește în jurul unei balamale. În mod similar, un plan înclinat, o pană și un șurub sunt un bloc care alunecă pe o suprafață plană. [33]

Această implementare arată că articulațiile sau articulațiile care asigură mișcarea sunt elementele principale ale mașinii. Începând cu cele patru tipuri de balamale, articulație pivotantă , articulație culisantă , articulație cu came și articulație dințată , precum și conexiunile asociate, cum ar fi cablurile și curelele, o mașină poate fi înțeleasă ca un ansamblu de piese solide care leagă aceste îmbinări. [25]

Sinteză cinematică

Proiectarea mecanismelor pentru a efectua mișcarea necesară și transferul de forță este cunoscută sub numele de sinteză cinematică. Este un set de metode geometrice pentru proiectarea mecanică a pârghiilor , a mecanismelor cu came și antrenate, angrenajelor și angrenajelor .

Note

↑ Chambers, Ephraim (1728), Table of Mechanics , vol. 2, Londra, Anglia, p. 528, Planșa 11
↑ Științe mecanice: mecanica inginerească și rezistența materialelor , Prentice Hall of India
↑ 1 2 Understanding Physics , Barnes & Noble , < https://books.google.com/books?id=pSKvaLV6zkcC&q=Asimov+simple+machine&pg=PA88 > Arhivat 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Fizica pentru studenți tehnici: mecanică și căldură . — McGraw Hill. — P. 112.
↑ Mechanics , Encyclopaedia Britannica , vol. 3, John Donaldson, 1773, pp. 44 , < https://books.google.com/books?id=Ow8UAAAAQAAJ&q=%22simple+machine%22+%22mechanical+powers%22+lever+screw+inclined+plane+wedge+wheel+pulley&pg=PA44 > . Extras la 5 aprilie 2020. . Arhivat pe 10 iulie 2021 la Wayback Machine
↑ Academic Press Dictionary of Science and Technology . - Gulf Professional Publishing, 1992. - P. 1993. - ISBN 9780122004001 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Landsberg G.S. Manual elementar de fizică. Volumul 1. - M. , Nauka , 1964. - p. 162
↑ 1 2 Compound machines , University of Virginia Physics Department , < http://galileo.phys.virginia.edu/outreach/8thgradesol/compoundmachine.htm > Arhivat 3 august 2019 la Wayback Machine
↑ 1 2 Usher, Abbott Payson. O istorie a invențiilor mecanice . - SUA : Courier Dover Publications, 1988. - P. 98. - ISBN 978-0-486-25593-4 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Wallenstein, Andrew. Bazele suportului cognitiv: spre modele abstracte de utilitate . Springer. Arhivat din original pe 14.01.2022 . Extras 2020-12-08 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ 1 2 Prater, Edward L. (1994), Mașini de bază , Centrul de dezvoltare și tehnologie profesională pentru educație și formare navale a US Navy, NAVEDTRA 14037 , < http://www.constructionknowledge.net/public_domain_documents/Div_1_General/Basic_Skills/Basic%20Machines %20NAVEDTRA%2014037%201994.pdf > Arhivat 6 noiembrie 2020 la Wayback Machine
↑ US Navy Bureau of Naval Personnel (1971), Basic machines and how they work , Dover Publications , < http://www.webpal.org/SAFE/aaarecovery/5_simple_technology/basic_machines.pdf > Arhivat 22 septembrie 2016 la Wayback machine
↑ Reuleaux, F. (1963), The kinematics of machinery (tradus și adnotat de ABW Kennedy) , retipărit de Dover
↑ Universitatea Cornell, Colecția Reuleaux de Mecanisme și Mașini de la Universitatea Cornell, Universitatea Cornell , < http://kmoddl.library.cornell.edu/rx_collection.php > Arhivat la 11 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Chiu, YC (2010), O introducere în istoria managementului de proiect , Delft: Eburon Academic Publishers, p. 42, ISBN 978-90-5972-437-2 , < https://books.google.com/books?id=osNrPO3ivZoC&q=%22heron+of+alexandria%22++load+motion&pg=PA42 > Arhivat din 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Citat de Pappus din Alexandria în Sinagogă , Cartea a VIII-a
↑ Krebs, Robert E. Experimente inovatoare, invenții și descoperiri ale Evului Mediu . - Greenwood Publishing Group, 2004. - P. 163. - ISBN 978-0-313-32433-8 . Arhivat pe 28 mai 2013 la Wayback Machine
↑ Stephen, Donald. Roți, ceasuri și rachete: o istorie a tehnologiei . - W. W. Norton & Company, 2001. - ISBN 978-0-393-32175-3 . Arhivat pe 18 august 2016 la Wayback Machine
↑ Armstrong-Hélouvry, Brian. Controlul mașinilor cu frecare . - Springer, 1991. - P. 10. - ISBN 978-0-7923-9133-3 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Roata nu a fost inventată în Orient. Arhivat pe 12 decembrie 2013 la Wayback Machine - Interviu cu. n. Cu. Institutul de Istoria Culturii Materiale al Academiei Ruse de Științe A. D. Rezepkin către ziarul „ Moskovsky Komsomolets ”.
↑ Această perspectivă fundamentală a fost subiectul lucrării din 1600 a lui Galileo Galilei Le Meccaniche (Despre mecanică)
↑ 1 2 Bhatnagar, VP Un curs complet de certificat de fizică . - India : Editura Pitambar, 1996. - P. 28–30. - ISBN 978-81-209-0868-0 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Simmons, Ron. Descoperi! Work & Machines / Ron Simmons, Cindy Barden. - SUA : Milliken Publishing, 2008. - ISBN 978-1-4291-0947-5 .
↑ Gujral, IS Engineering Mechanics. - Firewall Media, 2005. - ISBN 978-81-7008-636-9 .
↑ 1 2 3 Uicker, Jr., John J.; Pennock, Gordon R. & Shigley, Joseph E. (2003), Teoria mașinilor și mecanismelor (ed. a treia), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3
↑ Paul, Burton (1979), Cinematica și dinamica mașinilor plane , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6
↑ Rao, S. Engineering Mechanics / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - P. 80. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Goyal, MC Engineering Mechanics / MC Goyal, GS Raghuvanshee. - PHI Learning, 2011. - P. 212. - ISBN 978-81-203-4327-6 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Avison, John. Lumea Fizicii . - Nelson Thornes, 2014. - P. 110. - ISBN 978-0-17-438733-6 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 Gujral, I.S. Engineering Mechanics . - Firewall Media, 2005. - P. 382. - ISBN 978-81-7008-636-9 . Arhivat pe 30 septembrie 2021 la Wayback Machine
↑ Rao, S. Engineering Mechanics / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - P. 82. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Arhivat pe 14 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Goyal, MC Engineering Mechanics / MC Goyal, GS Raghuvanshi. - PHI Learning Private Ltd., 2009. - P. 202. - ISBN 978-81-203-3789-3 . Arhivat pe 15 ianuarie 2022 la Wayback Machine
^ Hartenberg , RS & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages Arhivat la 19 mai 2011 la Wayback Machine , New York: McGraw-Hill, link online de la Universitatea Cornell .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online) Universalis Rodie
În cataloagele bibliografice	BNF : 13336090z J9U : 987007546249205171 LCCN : sh85122744 LNB : 000301032