Viteză unghiulară

Viteză unghiulară
$\omega$
Dimensiune	T −1
Unități
SI	rad / s
GHS	rad/s
Alte unitati	grad / s rpm / s rpm

Viteza unghiulară este o mărime vectorială care caracterizează viteza și direcția de rotație a unui punct material sau a unui corp absolut rigid în raport cu axa de rotație. Modulul vitezei unghiulare pentru mișcarea de rotație coincide cu frecvența unghiulară instantanee de rotație , iar direcția este perpendiculară pe planul de rotație și este legată de direcția de rotație prin regula șurubului drept . Strict vorbind, viteza unghiulară este reprezentată printr-un pseudovector (vector axial) și poate fi reprezentată și ca un tensor simetric oblic [1] .

Viteza unghiulara in doua dimensiuni

Reprezentare vectoriala in spatiu 3D

În spațiul tridimensional, vectorul viteză unghiulară este egală ca mărime cu unghiul de rotație al unui punct în jurul centrului de rotație pe unitatea de timp:

\omega ={\frac {d\varphi {dt}),

și este îndreptată de- a lungul axei de rotație conform regulii ghișeului , adică în direcția în care s-ar înșuruba grindul sau șurubul cu filet la dreapta dacă s-ar roti în acest sens. O altă abordare mnemonică pentru amintirea relației dintre direcția de rotație și direcția vectorului viteză unghiulară este aceea că, pentru un observator ipotetic, la sfârșitul vectorului viteză unghiulară care iese din centrul de rotație, rotația în sine apare în sens invers acelor de ceasornic .

Viteza unghiulară este un vector axial (pseudovector). La reflectarea axelor sistemului de coordonate, componentele unui vector obișnuit (de exemplu, vectorul rază a unui punct) își schimbă semnul. În același timp, componentele pseudovectorului (în special, viteza unghiulară) rămân aceleași sub o astfel de transformare de coordonate.

Reprezentarea tensorului

Unități de măsură

Unitatea de măsură a vitezei unghiulare, adoptată în Sistemul Internațional de Unități (SI) și în sistemele CGS și MKGSS , este radianul pe secundă (desemnarea rusă: rad / s , internațional: rad / s ) [2] [Comm 1 ] . Tehnica folosește și rotații pe secundă, mult mai rar - grade, minute, secunde de arc pe secundă, grade pe secundă. Revoluțiile pe minut sunt adesea folosite în tehnologie - acest lucru se întâmplă încă din vremurile când viteza de rotație a motoarelor cu abur cu turație mică era determinată simplu cu ochiul, numărând numărul de rotații pe unitatea de timp.

Proprietăți

Vectorul viteză instantanee al oricărui punct al unui corp absolut rigid care se rotește cu o viteză unghiulară este determinat de formula: ${\vec {\omega }}$

{\vec v}=[\ {\vec \omega },{\vec r}\ ],

unde este vectorul rază până la punctul dat de la origine situat pe axa de rotație a corpului, iar parantezele pătrate indică produsul încrucișat . Viteza liniară (coincide cu modulul vectorului viteză) a unui punct la o anumită distanță ( rază ) de axa de rotație poate fi considerată după cum urmează: Dacă se folosesc alte unități de măsură a unghiului în loc de radiani, atunci un multiplicator nu egal cu unu va apărea în ultimele două formule. ${\vec {r))$ $r$ $v=\omega r.$

În cazul unei rotații plane, adică atunci când toți vectorii viteză ai punctelor corpului se află întotdeauna în același plan („planul de rotație”), viteza unghiulară a corpului este întotdeauna perpendiculară pe acest plan, și de fapt, dacă planul de rotație este cunoscut, acesta poate fi înlocuit cu un scalar — o proiecție pe axa de rotație, adică pe o linie dreaptă, ortogonală cu planul de rotație. În acest caz, cinematica de rotație este mult simplificată. Cu toate acestea, în cazul general, viteza unghiulară poate schimba direcția în timp în spațiul tridimensional și o astfel de imagine simplificată nu funcționează.
Mișcarea cu un vector viteză unghiulară constantă se numește mișcare de rotație uniformă (în acest caz, accelerația unghiulară este zero). Rotația uniformă este un caz special de rotație plată.
Derivata vitezei unghiulare in raport cu timpul este acceleratia unghiulara .
Viteza unghiulară (considerată ca un vector liber) este aceeași în toate sistemele de referință inerțiale , care diferă în poziția punctului de referință și viteza de mișcare a acestuia, dar se deplasează uniform în linie dreaptă și translațional unul față de celălalt. Cu toate acestea, în aceste cadre de referință inerțiale, poziția axei sau a centrului de rotație al unuia și aceluiași corp specific în același moment de timp poate diferi (adică va exista un „punct de aplicare” diferit al unghiului viteză).
În cazul unui punct care se mișcă în spațiul tridimensional, puteți scrie o expresie pentru viteza unghiulară a acestui punct în raport cu originea selectată :

{\vec \omega }={\frac {{\vec r}\times {\vec v}}{({\vec r},{\vec r}}))),

unde este vectorul raza punctului (de la origine), este viteza acestui punct, este produsul vectorial , este produsul scalar al vectorilor. Cu toate acestea, această formulă nu determină în mod unic viteza unghiulară (în cazul unui singur punct, puteți alege alți vectori care sunt potriviți prin definiție, în alt mod - în mod arbitrar - prin alegerea direcției axei de rotație), ci pentru cazul general (când corpul include mai mult de un punct material) - această formulă nu este valabilă pentru viteza unghiulară a întregului corp (deoarece oferă valori diferite pentru fiecare punct, iar atunci când un corp absolut rigid se rotește, unghiul vectorii viteză de rotație ai tuturor punctelor sale coincid). Cu toate acestea, în cazul bidimensional (cazul rotației plane), această formulă este destul de suficientă, lipsită de ambiguitate și corectă, deoarece în acest caz particular se știe că direcția axei de rotație este determinată în mod unic.

{\vec {r))

{\vec {v}}

{\vec r}\times {\vec v}

({\vec r},{\vec r})

{\vec \omega},

{\vec {\omega }}

În cazul mișcării uniforme de rotație (adică a mișcării cu vector viteză unghiulară constantă) a unui corp absolut rigid, coordonatele carteziene ale punctelor corpului care se rotesc astfel realizează oscilații armonice cu o frecvență unghiulară (ciclică) egală cu modulul vectorului viteză unghiulară.

La măsurarea vitezei unghiulare în rotații pe secundă (tur/s), modulul vitezei unghiulare a mișcării uniforme de rotație coincide cu frecvența de rotație f , măsurată în herți (Hz), adică în astfel de unități . În cazul utilizării unitate fizică obișnuită a vitezei unghiulare - radiani pe secundă - modulul vitezei unghiulare este raportat numeric cu viteza de rotație, după cum urmează: În sfârșit, când se utilizează grade pe secundă, relația numerică cu viteza de rotație va fi: $\omega =f.$ $\omega ={2\pi f}.$ $\omega ={360^{\circ }f}.$

Legătura cu rotația finită în spațiu

Fie ca rotația variabilă în timp să fie dată de unghiul și vectorul unitar al axei finale de rotație în spațiu.Atunci viteza unghiulară corespunzătoare acestei rotații este egală cu $\;\theta (t)$ ${\vec {n}}(t).$

{\vec {\omega }}={\vec {n}}{\dot {\theta }}+{\dot ({\vec {n}}}}\sin \theta +{\vec {n}} \times {\dot {{\vec n}}}(1-\cos \theta ).

Dacă rotația este dată de matricea de rotație unde este simbolul Kronecker , este simbolul Levi-Civita (sumarea se realizează conform regulii Einstein de la 1 la 3), expresia pentru elementele cărora prin și poate fi obținută, de exemplu, folosind formula Rodrigues , atunci viteza unghiulară este egală cu $T_{ij}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos \theta -n_{k}\varepsilon _{ijk}\ sin\theta ,$ $\;\delta _{{ij}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $\;\theta$ ${\vec {n}}$

\omega _{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{{ijk}}T_{{jn}}{\dot {T}}_{{kn}}.

Dacă un cuaternion este folosit pentru a descrie rotația , exprimată în termeni de unghi și vector unitar al axei de rotație, atunci viteza unghiulară se găsește din expresia $\;\theta$ ${\vec {n}}$ $q={\bigl (}\cos(\theta /2),{\vec {n}}\sin(\theta /2){\bigr )},$ $\left(0,{\vec {\omega }}\right)=2\,{\dot {q}}\,\overline {q}.$

În cazul în care rotația este descrisă folosind un vector care variază în timp, notăm și - matricea de semirotație - pătratul modulului vectorului . Apoi viteza unghiulară: ${\vec {V}}={\vec {n}}\operatorname {tg}(\theta /4),$ ${\vec {W}}=d{\vec {V}}/dt\ {\bigl (}W_{i}=dV_{i}/dt{\bigr )},$ $T_{ij}^{1/2}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos(\theta /2)-n_ {k}\varepsilon _{ijk}\sin(\theta /2)$ $\;{\bigl (}T_{{ij}}^{{1/2}}T_{{jk}}^{{1/2}}=T_{{ik}}{\bigr )},$ $\;V^{2}$ ${\vec {V}).$

\omega _{i}={\frac {4T_{{ij}}^{{1/2}}W_{{j}}}{1+V^{2}}}.

Note

Comentarii

↑ Unghiul plan , definit ca raportul dintre lungimea arcului unui cerc închis între două raze și lungimea razei, este adimensional , prin urmare unitatea de măsură a unghiurilor plane este numărul „unu” și unitatea de măsurarea vitezei unghiulare în sistemul SI este s −1 . Totuși, în cazul unghiurilor plate, unității „unu” i se dă denumirea specială „radian” pentru a facilita înțelegerea cărei mărime fizică se înțelege în fiecare caz particular [3] .

Surse

↑ Ishlinsky A. Yu. Mecanica clasică și forțele de inerție / Ed. ed. B. V. Raushenbakh . - M . : „Nauka”, 1987. - S. 239.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Unități de mărime. Dicţionar de referinţă. - M . : Editura de standarde, 1990. - S. 98. - 240 p. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Unități pentru cantități minus cantități , cantități de cantități Broșura SI: Sistemul internațional de unități (SI) . Bureau International des Poids et Mesures (2006; actualizat 2014). Data accesului: 29 ianuarie 2016.

Vezi și

Literatură

Lur'e A. I. Mecanica analitica. - M. : GIFML, 1961. - S. 100-136. — 824 p.