Pfaffian

Pfaffianul unei matrici oblice-simetrice este un polinom din elementele sale al cărui pătrat este egal cu determinantul acestei matrice. La fel ca și determinantul, Pfaffianul este diferit de zero numai pentru matrice simetrică asimetrică de dimensiune , caz în care gradul său este n . $2n\ ori 2n$

Exemple

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0 \\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\ 0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

Definiție

Să notăm setul tuturor partițiilor unui set în perechi neordonate (există astfel de partiții în total). Diviziunea poate fi scrisă $\Pi$ $\{1,2,\dots ,2n\}$ $(2n-1)!!$ $\alpha \in \Pi$

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

unde si . Lăsa $i_{k}<j_{k}$ $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{{n}}\end{bmatrix}}

denotă permutarea corespunzătoare și este semnul permutației . Este ușor de observat că nu depinde de alegerea . ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$ ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$

Să notăm o matrice oblică-simetrică. Pentru partiţionare , definim $A=\{a_{{ij}}\}$ $2n\ ori 2n$ $\alfa$

A_{\alpha }=\operatorname {sgn}(\alpha )a_{{i_{1},j_{1}}}a_{{i_{2},j_{2}}}\cdots a_{{i_{ n},j_{n}}}.

Acum putem defini Pfaffianul matricei A ca

\operatorname {Pf}(A)=\sum _{{\alpha \in \Pi }}A_{\alpha }.

Pfaffianul unei matrice de mărime asimetrică pentru n impar este zero prin definiție. $n\ ori n$

Definiție recursiva

Pfaffianul matricei de mărime se presupune a fi 1; Pfaffianul unei matrice simetrice asimetrice A de dimensiunea la poate fi definit recursiv după cum urmează: $0\times 0$ $2n\ ori 2n$ $n>0$

\operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (ij )}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

unde indicele poate fi ales în mod arbitrar, este funcția Heaviside , denotă matricea A fără coloanele și rândurile i -a și j -a. $i$ $\theta (ij)$ $A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}$

Definiție alternativă

Pentru o matrice simetrică oblică , luați în considerare un bivector : $2n\ ori 2n$ $A=\{a_{{ij}}\}$

\omega =\sum _{{i<j}}a_{{ij}}\;e_{i}\wedge e_{j}.

unde este baza standard în . Atunci Pfaffianul este dat de următoarea ecuație: $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{{2n}}\}$ ${\mathbb R}^{{2n))$

{\frac {1}{n!)}}\omega ^{{\wedge n}}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \ pană e_{{2n}},

unde denotă produsul exterior de n copii . $\omega ^{{\wedge n}}$ $\omega$

Proprietăți

Pentru o matrice simetrică oblică și pentru o matrice arbitrară : $2n\ ori 2n$ $A$ $2n\ ori 2n$ $B$

${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

Pentru o matrice diagonală bloc

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf} }(A_{2}).

Pentru o matrice arbitrară : $n\ ori n$ $M$

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{{n(n-1)/2}}\det M .

Istorie

Termenul „Pfaffian” a fost introdus de Cayley [1] și a fost numit după matematicianul german Johann Friedrich Pfaff .

Note

↑ Cele mai vechi utilizări cunoscute ale unora dintre cuvintele matematicii . Consultat la 29 noiembrie 2009. Arhivat din original pe 4 martie 2009. (nedefinit)

Literatură

Vyaly M. N. Pfaffians pentru probleme de enumerare // Școala de vară „Matematică modernă”. — 2004.
Leneșul M. N. Pfaffians sau arta de a pune semne ... // Educația matematică . - 2005. - Nr. 9 .