Continuitate echidistantă

Continuitatea echidistantă este o proprietate a unei familii de funcții continue , care constă în faptul că întreaga familie de funcții se modifică într-un mod controlat. Este folosit pentru a alege o secvență uniform convergentă dintr-o anumită familie de funcții: teorema Arzela-Ascoli permite acest lucru pentru o familie echicontinuă și uniform mărginită pe, de exemplu, un spațiu metric compact.

Definiție

Definiția exactă a echicontinuității depinde de context. În cea mai simplă versiune, să fie o familie de funcții continue cu valoare reală pe intervalul , și să fie o subfamilie a acesteia. Această subfamilie se numește echicontinuă dacă pentru oricare există astfel încât pentru orice funcție și orice punct condiția decurge din condiție . După cum puteți vedea, condiția de echicontinuitate a unei familii de funcții diferă de condiția de continuitate uniformă a tuturor funcțiilor separat prin transferarea fragmentului „pentru orice ” sub o pereche de cuantificatori pentru epsilon și delta. $C(a,b)$ $[a,b]$ $D\subset C(a,b)$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $găsi$ $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $găsi$

Această definiție poate fi generalizată literal la cazul spațiilor metrice compacte și și o subfamilie a unei familii de mapări continue de la la : o subfamilie se numește echicontinuă dacă pentru oricare există astfel încât pentru orice funcție și orice punct condiția decurge din condiție . $X$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $X$ $Y$ $D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in D$ $x_1, x_2\în X$ $d_{X}(x_{1},\;x_{2})<\delta$ $d_{Y}(f(x_{1}),\;f(x_{2}))<\varepsilon$

Prin înlocuirea formalismului - - cu formalismul submulților deschise, se obține o definiție mai generală pentru spațiile topologice și și o subfamilie a unei familii de mapări continue de la la : o subfamilie se numește echicontinuă la un punct și un punct dacă pentru orice vecinătate . Există o astfel de vecinătate în care orice funcție se mapează la . O mapare se numește echicontinuă dacă condiția de mai sus este îndeplinită pentru toate perechile . Dacă și sunt spații vectoriale topologice , iar mapările dintre ele nu sunt doar continue, ci și liniare, atunci este suficient să verificați această condiție la o pereche de puncte . $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $X$ $Y$ $D$ $x\în X$ $y\în Y$ $W\ni y$ $V\ni x$ $f\in D$ $V$ $W$ $(x,y)\in X\time Y$ $X$ $Y$ $(0_{X},0_{Y})$

Teorema Artzel–Ascoli

Teorema Arzela-Ascoli afirmă că pentru spațiile metrice compacte, echicontinuitatea este echivalentă cu compactitatea relativă , echipată cu o metrică. $D$ $D$ $\subset$ $C(X,\;Y)$

\rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x))

Literatură

Kolmogorov A. N., Fomin S. V., Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, ed. a 5-a, M., 1981;
Edwards R., Analiza funcțională, trad. din engleză, IT., 1969.