Teorema Ascoli-Arzela

Teorema Arzela este o afirmație care este un criteriu pentru precompacitatea unei mulțimi într-un spațiu metric complet în cazul special când spațiul luat în considerare este spațiul funcțiilor continue pe un segment al dreptei reale . Numit după autor, Cesare Arcela .

Teorema Arzela-Ascoli (sau Ascoli-Artzela) este o generalizare a teoremei Arzela pentru cazul în care sunt luate în considerare familii de mapări ale mulțimilor metrice compacte ( teorema Arzela generalizată ).

Aplicarea teoremei Arzela este legată de proprietățile speciale ale familiilor luate în considerare și anume: cu mărginire uniformă și echicontinuitate .

Introducere

În analiza matematică (și mai târziu în analiza funcțională ), sunt luate în considerare toate familiile posibile de funcții continue date pe mulțimi speciale ( metric compacta ) și este investigată problema „completitudinii” unor astfel de familii. În special, se pune întrebarea despre existența unei limite , de exemplu, pentru o succesiune de funcții numerice continue , date pe interval , precum și despre proprietățile acestei limite. Conform criteriului lui Cauchy , limita uniformă a funcțiilor continue este, de asemenea, o funcție continuă, adică spațiul este complet . Lucrul esențial aici este că domeniul de definire a funcțiilor este o submulțime compactă a dreptei reale (segment), iar funcțiile iau valori într-un spațiu metric complet. Obținem un rezultat similar dacă luăm clasa de mapări continue a unui set metric arbitrar compact într-un spațiu metric complet. $[a,b]$ $Taxi]$

Completitudinea clasei permite ca orice funcție continuă să fie aproximată printr-o succesiune de aproximări, fiecare dintre acestea fiind o funcție într-un anumit sens „mai simplă” decât cea originală. Acest lucru este evidențiat de teorema Weierstrass : fiecare funcție continuă dintr-un interval poate fi aproximată în mod arbitrar exact prin polinoame. $Taxi]$

Teorema Arzela se referă la cazul în care se ia în considerare o anumită familie de funcții continue , unde este o mulțime metrică compactă și este un spațiu metric complet, și se investighează întrebarea dacă este posibil să se evidențieze o subsecvență convergentă din această familie. . Întrucât spațiul este complet, existența unui punct limită înseamnă în esență că familia este precompactă în . Prin urmare, teorema poate fi formulată într-o formă generală, vorbind în mod specific de precompacitate. $F\subset C(K,Y)$ $K$ $Y$ $C(K,Y)$ $F$ $C(K,Y)$

Astfel, teorema Arzela este un criteriu de precompactitudine a unei familii de funcții continue definite pe o mulțime compactă și care acționează asupra unui spațiu metric complet.

Criteriul existent pentru precompactitudinea unei multimi intr-un spatiu complet impune verificarea ca multimea data este complet marginita . În practică, acest criteriu nu este eficient. Așadar, pare oportun să se utilizeze cumva proprietățile funcțiilor incluse în familie pentru a obține un criteriu de precompacitate adecvat aplicării practice.

În cursul cercetărilor, s-a dovedit că astfel de proprietăți sunt proprietățile mărginirii uniforme și echicontinuității familiei luate în considerare.

Mențiunea continuității echidistante a fost făcută simultan de Giulio Ascoli (1883-1884) [1] și Cesare Arcela (1882-1883) [2] . Forma slabă a teoremei a fost dovedită de Ascoli în 1883–1884 [1] , care a stabilit condiții suficiente pentru compactare, și de Arcela în 1895 [3] , care a dat condiția necesară și a dat prima interpretare clară a rezultatului. O generalizare suplimentară a teoremei a fost demonstrată de Fréchet (1906) [4] pentru spațiile în care noțiunea de limită are sens, cum ar fi un spațiu metric sau un spațiu Hausdorff Dunford, Schwartz (1958) [5] . Formulările moderne ale teoremei permit ca domeniul și domeniul să fie spații metrice. Formularea cea mai generală a teoremei oferă o condiție necesară și suficientă pentru ca o familie de funcții de la un spațiu Hausdorff compact la un spațiu uniform să fie compactă în topologia de convergență uniformă Bourbaki (1998, § 2.5) [6] .

Definiții

Se consideră spațiul funcțiilor continue definit pe intervalul , împreună cu metrica convergenței uniforme. Acesta este un spațiu metric complet . Se știe că: $Taxi]$ $[a,b]$

Pentru ca un subset al unui spațiu metric complet să fie precompact, este necesar și suficient ca acesta să fie complet mărginit.

În cazul spațiului , totuși, se poate folosi un criteriu de precompacitate mai eficient, dar pentru acesta trebuie introduse următoarele două concepte. $Taxi]$

Să presupunem că este o familie de funcții continue definite pe segment . $F$ $[a,b]$

Limitare uniformă

O familie se numește mărginită uniform dacă există o constantă comună pentru toate elementele familiei , care limitează toate funcțiile familiei: $F$ $K$

\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K

Echicontinuitate

O familie se numește echicontinuă dacă pentru oricare există astfel încât pentru orice element și pentru orice punct și astfel încât inegalitatea strictă să fie valabilă . $F$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\în F$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Formulare

Teorema.

O familie funcțională este precompactă într-un spațiu metric complet dacă și numai dacă această familie este $F$ $Taxi]$

mărginite uniform
la fel de continuu.

Dovada

De fapt, este necesar să se arate că ambele proprietăți ale unei familii de funcții sunt echivalente cu mărginirea completă a acestei familii.

Necesitate

Deci, lăsați familia să fie complet delimitată . $F$

Fixăm și construim o rețea finită de forma: . $\varepsilon >0$ $(\varepsilon /3)$ $\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$

Deoarece fiecare funcție a acestui sistem este continuă și, prin urmare, mărginită, atunci pentru fiecare astfel de funcție există o constantă proprie astfel încât, pentru orice . $K_{i}$ $|\varphi _{i}(x)|<K_{i}$ $x\în[a,b]$

Deoarece există un set finit de astfel de funcții, putem lua . $K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$

Acum, dacă luăm o funcție arbitrară , atunci pentru această funcție există un element -network astfel încât pentru orice . Evident, în acest caz funcția va fi limitată la constanta . $f\în F$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$ $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ $x\în[a,b]$ $f$ $K$

Aceasta arată că familia este delimitată uniform . $F$

Din nou, datorită continuității fiecărui element al rețelei, acest element se dovedește, de asemenea, a fi uniform continuu și, prin urmare, se poate alege astfel încât pentru orice puncte astfel încât . $(\varepsilon /3)$ $(\varepsilon /3)$ $\delta _{i}$ $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ $x_{1},x_{2}\în [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$

Lasă . $\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$

Dacă luăm acum în considerare o funcție arbitrară , atunci pentru cea dată va exista o inegalitate strictă pentru orice puncte astfel încât . $f\în F$ $\varepsilon >0$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $x_{1},x_{2}\în [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$

Într-adevăr, , unde este un element adecvat al rețelei. $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}( x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$

Aceasta arată că familia este echicontinuă . $F$

Cu alte cuvinte, mărginirea completă implică mărginire uniformă și echicontinuitate.

Suficiență

Acum este necesar să se demonstreze că mărginirea uniformă și echicontinuitatea familiei implică existența unei rețele finite pentru orice finit . $F$ $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Reparăm . $\varepsilon >0$

Fie o constantă care apare în definiția mărginirii uniforme. $K$

Să alegem așa ceva care apare în definiția continuității uniforme și corespunde valorii . $\delta>0$ $\varepsilon /5$

Să considerăm un dreptunghi și să-l împărțim prin linii verticale și orizontale în celule dreptunghiulare mai mici decât cele orizontale și verticale. Fie , , , nodurile acestei rețele (de-a lungul axei x ). $[a,b]\times [-K,K]$ $\delta$ $\varepsilon /5$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\dots$ $x_{N}$

Dacă luăm în considerare acum o funcție arbitrară , atunci pentru fiecare nod al rețelei trebuie să existe un astfel de punct al rețelei care . Dacă luăm acum în considerare funcția linie întreruptă , care la noduri ia valorile corespunzătoare care se abat de la funcție cu cel mult , atunci, datorită faptului că funcția în sine deviază pe fiecare segment cu cel mult , linia întreruptă deviază cu cel mult pe fiecare astfel de segment . $f\în F$ $x_{i}$ $(x_{i},y_{j})$ $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ $\varphi$ $\varepsilon /5$ $\varepsilon /5$ $3\varepsilon /5$

Deoarece fiecare punct al segmentului se află pe unul dintre aceste segmente, să zicem, , se dovedește că abaterea funcției de la linia întreruptă construită în acest fel nu depășește : $X$ $[a,b]$ $[x_{k},x_{k}+1]$ $\varepsilon$

|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\ varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon

Astfel, se arată că un sistem finit (!) de funcții întrerupte de tipul indicat este o -net pentru un anumit . $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Aplicații

Teorema Arzela își găsește aplicarea în teoria ecuațiilor diferențiale .

În teorema Peano (asupra existenței unei soluții la problema Cauchy ), se construiește un sistem de funcții, care în teoria ecuațiilor diferențiale se numește linii întrerupte Euler . Acest sistem se dovedește a fi o familie de funcții uniform mărginită și echicontinuă, din care, conform teoremei Arzela, se poate evidenția o secvență uniform convergentă de funcții, a cărei limită va fi soluția dorită a problemei Cauchy.

Vezi și

Lema lui Artsela
Teorema lui Montel asupra unei familii compacte de funcții este o consecință a teoremei Arzela.

Literatură

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - ed. al treilea, revizuit. — M .: Nauka , 1972 . — 496 p.

Note

↑ 1 2 Ascoli, G. (1883-1884), „Le curve limiti di una varietà data di curve”, Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. sci. Fis. Mat. Nat. 18(3): 521-586.
↑ Arzelà, Cesare (1882-1883), „Un'osservazione intorno alle serie di funzioni”, Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142-159.
↑ Arzelà, Cesare (1895), „Sulle funzioni di linee”, Mem. Accad. sci. Ist. Bologna Cl. sci. Fis. Mat. 5(5):55-74.
↑ Fréchet, Maurice (1906), „Sur quelques points du calcul fonctionnel”, Rend. Circ. Mat. Palermo 22:1-74, doi:10.1007/BF03018603.
↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operatori liniari, volumul 1, Wiley-Interscience.
↑ Bourbaki, Nicolas (1998), Topologie generală. Capitolele 5-10, Elemente de matematică, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4 .