Radical ideal

În algebra comutativă , radicalul unui ideal I este idealul format din toate elementele x astfel încât o putere a lui x îi aparține lui I. Un ideal radical este un ideal care coincide cu propriul său radical.

Definiție

Radicalul unui ideal I într- un inel comutativ R , notat cu , este definit ca ${\sqrt {I}}$

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}

Intuitiv, pentru a obține radicalul unui ideal, trebuie să luăm rădăcinile tuturor gradelor posibile din elementele sale. O definiție echivalentă a radicalului idealului I este imaginea inversă a radicalului zero sub harta factorizării. Și acesta se dovedește a fi un ideal. $R/I$ ${\sqrt {I}}$

Exemple

În inelul numerelor întregi, radicalul idealului principal este idealul generat de produsul tuturor divizorilor primi . $(A)$ $A$
Radicalul unui ideal primar este simplu . Dacă radicalul unui ideal este maxim , atunci acest ideal este primar (dacă radicalul este simplu, atunci idealul nu este neapărat primar).
În orice inel comutativ pentru un ideal prim [1] . În special, fiecare ideal prim este radical. ${\sqrt {P^{n}}}=P$ $P$

Proprietăți

${\sqrt {{\sqrt {I}}}}={\sqrt {I}}$ . Mai mult, este cel mai mic ideal radical care conține I . ${\sqrt {I}}$
${\sqrt {I}}$ este intersecția tuturor idealurilor prime care conțin I . În special, radicalul zero este intersecția tuturor idealurilor prime.
Un ideal este radical dacă și numai dacă inelul coeficient al acestuia nu conține nilpotenți netriviali .

Aplicații

Principala motivație pentru studierea radicalilor este apariția lor în celebra teoremă nulă a lui Hilbert din algebra comutativă . Cea mai simplă formulare a acestei teoreme este următoarea: pentru orice câmp închis algebric și orice ideal finit generat în inelul polinomial în variabile peste câmpul , următoarea egalitate este adevărată: $k$ $n$ $k$

\operatorname {I}(\operatorname {V}(J))={\sqrt J},

Unde

\operatorname {V}(J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}

și

\operatorname {I}(S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\ }.

Note

↑ Atiyah și McDonald, 2003 , Propunerea 4.2.

Literatură

Atiyah M. , McDonald I. . Introducere în algebra comutativă. - M . : Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David. . Algebră comutativă cu o viziune către geometria algebrică. - Springer-Verlag, 1995. - (Texte pentru absolvenți de matematică, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8 .