Câmp de numere algebrice

Câmp de numere algebrice , câmpul de numere algebrice (sau pur și simplu câmp de numere ) este o extensie finită (și deci algebrică ) a câmpului numerelor raționale . Astfel, un câmp numeric este un câmp care conține și este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite deasupra acestuia. În același timp, unii autori numesc orice subcâmp al numerelor complexe un câmp numeric - de exemplu, M. M. Postnikov în „The Galois Theory”. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Câmpurile numerice și, în general, extensiile algebrice ale câmpului numerelor raționale, sunt obiectul principal de studiu în teoria algebrică a numerelor .

Exemple

Câmpul de numere cel mai mic și de bază este câmpul numerelor raționale . $\mathbb {Q}$
Numerele raționale gaussiene, notate, sunt primul exemplu non-trivial de câmp numeric. Elementele sale sunt expresii ale formei ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

unde și sunt numere raționale, este unitatea imaginară . Astfel de expresii pot fi adăugate și înmulțite conform regulilor obișnuite de operare cu numere complexe , iar fiecare element diferit de zero are un invers, așa cum se poate vedea din egalitate.

A

b

i

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Rezultă că numerele gaussiene raționale formează un câmp care este un spațiu bidimensional peste (adică un câmp pătratic ).

\mathbb {Q}

Mai general, pentru orice număr întreg fără pătrat , va fi o expansiune pătratică a câmpului . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\mathbb {Q}$
Un câmp circular se obține prin adăugarea la rădăcina a n- a primitivă a unității. Câmpul trebuie să conțină și toate puterile sale (adică toate rădăcinile a n- a ale unității), dimensiunea sa peste este egală cu funcția Euler . ${\mathbb Q}(\zeta _{n})$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\varphi (n)$
Numerele reale și complexe au putere infinită asupra numerelor raționale, deci nu sunt câmpuri numerice. Aceasta rezultă din nenumărabilitate: orice câmp numeric este numărabil .
Câmpul tuturor numerelor algebrice nu este numeric. Deși extensia este algebrică, nu este finită. $\mathbb {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Câmp numeric inel de numere întregi

Deoarece un câmp numeric este o extensie algebrică a unui câmp , orice element al acestuia este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți raționali (adică este algebric ). Mai mult, fiecare element este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi, deoarece este posibil să se înmulțească toți coeficienții raționali cu produsul numitorilor. Dacă un element dat este o rădăcină a unui polinom unitar cu coeficienți întregi, se numește element întreg (sau un număr întreg algebric). Nu toate elementele unui câmp numeric sunt numere întregi: de exemplu, este ușor să arăți că singurele elemente întregi sunt numere întregi obișnuite . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Se poate dovedi că suma și produsul a două numere întregi algebrice este din nou un număr întreg algebric, deci elementele întregi formează un subinel al câmpului numeric , numit inelul câmpurilor întregi și notat cu . Câmpul nu conține divizori zero și această proprietate este moștenită la trecerea la un subring, deci inelul de numere întregi este integral ; câmpul inelelor parțiale este câmpul însuși . Inelul de numere întregi al oricărui câmp numeric are următoarele trei proprietăți: este închis integral , noetherian și unidimensional . Un inel comutativ cu aceste proprietăți se numește Dedekind , după Richard Dedekind . $K$ $K$ ${\mathcal O}_{K}$ ${\mathcal O}_{K}$ $K$

Descompunerea în numere prime și grupuri de clase

Într-un inel arbitrar Dedekind, există o descompunere unică a idealurilor diferite de zero într-un produs al celor simple . Cu toate acestea, nu orice inel de numere întregi satisface proprietatea factorială : chiar și pentru inelul de numere întregi dintr-un câmp pătratic, descompunerea nu este unică: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Prin introducerea unei norme pe acest inel, putem arăta că aceste expansiuni sunt într-adevăr diferite, adică una nu poate fi obținută de la alta prin înmulțirea cu un element inversabil .

Gradul de încălcare a proprietății factoriale este măsurat folosind grupul ideal de clasă , acest grup pentru inelul de numere întregi este întotdeauna finit și ordinea sa se numește numărul de clase.

Bazele câmpurilor numerice

Întreaga bază

O bază întreagă a unui câmp numeric F de gradul n este mulțimea

B = { b 1 , …, b n }

a n elemente ale inelului de numere întregi ale câmpului F astfel încât orice element al inelului de numere întregi O F al câmpului F poate fi scris într-un mod unic ca o combinație Z -liniară de elemente ale lui B ; adică pentru orice x din O F , există o descompunere unică

x \ u003d m 1 b 1 + ... + m n b n ,

unde m i sunt numere întregi obișnuite. În acest caz, orice element al lui F poate fi scris ca

m 1 b 1 + … + m n b n ,

unde m i sunt numere raționale. După aceea, elementele întregi ale lui F se disting prin proprietatea că acestea sunt exact acele elemente pentru care toate m i sunt numere întregi.

Folosind instrumente precum localizarea și endomorfismul Frobenius , se poate construi o astfel de bază pentru orice câmp numeric. Construcția sa este o caracteristică încorporată în multe sisteme de algebră computerizată .

Baza de putere

Fie F un câmp numeric de grad n . Printre toate bazele posibile ale lui F (ca spațiu vectorial Q ), există baze de putere, adică baze de forma

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

pentru unele x ∈ F . Conform teoremei elementului primitiv , un astfel de x există întotdeauna, se numește elementul primitiv al extensiei date.

Normă și urmă

Un câmp numeric algebric este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste (să notăm dimensiunea acestuia ca ), iar înmulțirea cu un element arbitrar al câmpului este o transformare liniară a acestui spațiu. Fie o bază F , atunci transformarea corespunde matricei definite de condiție $\mathbb {Q}$ $n$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapsto \alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Elementele acestei matrice depind de alegerea bazei, cu toate acestea, toți invarianții matricei , cum ar fi determinantul și urma , nu depind de aceasta . În contextul extensiilor algebrice, determinantul unei matrice înmulțit cu un element se numește norma acelui element (notat ); urma unei matrice este urma unui element (notat cu ). $N(x)$ ${\text{Tr))(x)$

Urma elementului este o funcțională liniară pe F :

{\text{Tr))(x+y)={\text{Tr))(x)+{\text{Tr))(y)

și .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Norma este o funcție multiplicativă și omogenă :

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

și .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Ca bază inițială, puteți alege o bază întreagă , înmulțirea cu un număr algebric întreg (adică printr-un element al inelului de numere întregi ) în această bază va corespunde unei matrice cu elemente întregi . Prin urmare, urma și norma oricărui element al inelului de numere întregi sunt numere întregi.

Un exemplu de utilizare a normei

Fie un număr natural fără pătrate , apoi să fie un câmp pătratic (în special, fiind un câmp numeric). Alegem o bază întreagă în acest câmp ( este un element întreg, deoarece este rădăcina polinomului redus ). În această bază, înmulțirea cu corespunde matricei $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1,{\sqrt d})$ ${\sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Prin urmare, . Pe elementele inelului , această normă ia valori întregi. Norma este un homomorfism al unui grup multiplicativ pe un grup multiplicativ , deci norma elementelor inversabile ale unui inel poate fi doar egală cu sau . Pentru a rezolva ecuația lui Pell este suficient să găsiți toate elementele reversibile ale inelului de numere întregi (numite și unități inelare ) și să le selectați dintre ele pe cele care au o normă . Conform teoremei unității lui Dirichlet , toate elementele inversabile ale unui inel dat sunt puteri ale unui element (până la înmulțirea cu ), așa că pentru a găsi toate soluțiile ecuației lui Pell, este suficient să găsim o soluție fundamentală. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\mathbb {Z}$ $unu$ $-unu$ $a^{2}-db^{2}=1$ $unu$ $-unu$

Vezi și

teoria lui Kummer

Literatură

H. Koch. Teoria algebrică a numerelor . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 p. - (Rezultatele științei și tehnologiei. Seria „Probleme moderne de matematică. Direcții fundamentale”.).
Chebotarev N.G. Fundamentele teoriei Galois. Partea 2. - M . : Editorial URSS, 2004.
Weil G. Teoria numerelor algebrice. Pe. din engleză.- M . : Editorial URSS, 2011.
Serge Lang , Teoria numerelor algebrice, ediția a doua, Springer, 2000