Ideal simplu

Un ideal prim este o generalizare naturală a conceptului de număr prim în teoria inelelor .

Una dintre cele mai importante construcții ale algebrei comutative , folosind conceptul de ideal prim, este localizarea unui inel .

Definiție

Un ideal într-un inel se spune că este simplu dacă inelul coeficient este un domeniu de integritate în raport cu acesta . $eu$ $A$ $A/I$

O formulare echivalentă: dacă și urmează din sau , atunci este un ideal prim. $I\neq A$ $ab\în I$ $a\în I$ $b\în I$ $eu$

Concepte înrudite

Setul tuturor idealurilor prime ale unui inel formează spectrul inelului . Definiţia sa include, de asemenea, o descriere a topologiei şi snopului structural al inelelor locale , transformându-l într- o schemă afină , obiectul de bază al geometriei algebrice . $A$ ${\mathrm {Spec.}}A$

Proprietăți

Idealul maxim al unui inel (adică un ideal propriu care nu este conținut în niciun ideal propriu) este prim. $eu$ $A$

Dovada

Într-adevăr, să , . Să luăm în considerare idealul . Deoarece este maxim, fie (ceea ce este imposibil, deoarece ) fie . Dar apoi , și, prin urmare, . $ab\în I$ $a\notin I$ $J=I+aA$ $eu$ $J=I$ $a\notin I$ $J=A$ $1\in I+aA$ $b\in bI+baA=I$

Un ideal este simplu dacă și numai dacă elementele complementului său formează un sistem multiplicativ . O submulțime a unui inel cu unitate se numește sistem multiplicativ dacă conține o unitate, nu conține zero și este închisă sub înmulțire. $eu$
Teorema de separare: Fie dat un ideal într-un inel comutativ cu unitate care nu se intersectează cu sistemul multiplicativ . Apoi, există un ideal prim care conține și disjuns de sistem . $A$ $eu$ $S_{0}$ $I_0$ $eu$ $S_{0}$
Teorema radicalului: Intersecția tuturor idealurilor prime care conțin idealul coincide cu radicalul idealului . Radicalul unui ideal este multimea . Este, de asemenea, un ideal de inel . $eu$ $eu$ $eu$ ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\există n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}$ $A$

Dovada

Să fie un ideal prim care conține . Dacă un element aparține radicalului , atunci unele dintre puterile sale aparțin idealului și, prin urmare, nu poate aparține complementului la , deoarece acest complement este un sistem multiplicativ (dacă conține , atunci conține și toate puterile sale). Prin urmare, aparține tuturor idealurilor prime care conțin idealul . Dimpotrivă: să nu aparțină radicalului . Atunci mulțimea tuturor puterilor sale este un sistem multiplicativ care nu se intersectează cu . Conform teoremei anterioare, există un ideal prim care conține și nu conține nici una dintre puterile elementului . Prin urmare, nu aparține tuturor idealurilor prime care conțin idealul . $J$ $eu$ $f$ ${\sqrt {I}}$ $I\subset J$ $f$ $J$ $f$ $f$ $eu$
$f$ ${\sqrt {I}}$ $eu$ $eu$ $f$ $f$ $eu$

Exemple

În inelul numerelor întregi, fiecare ideal prim are forma , unde este un număr prim . $A=\mathbb {Z}$ $pa$ $p$

Dovada

Fie cel mai mic număr pozitiv din . Să luăm unul arbitrar și să împărțim cu restul la : , unde . Datorită alegerii , avem , i.e. toate elementele sunt divizibile cu . Astfel, . $a\în I$ $eu$ $b\în I$ $A$ $\quad b=a*g+r$ $0\leq r<a$ $A$ $r=0$ $eu$ $A$ $I=a\mathbb {Z}$

Să presupunem acum . Deoarece rezultă din sau , este un număr prim. $I=pA$ $ab\in pA$ $a\in pA$ $b\in pA$ $p$

În inelul de polinoame dintr-o variabilă, fiecare ideal prim are forma , unde este un polinom ireductibil . $A=\mathbb {R} [x]$ $pa$ $p$ $\mathbb {R}$
Într -un inel polinomial , mulțimea este un ideal prim. $A=\mathbb {Q} [x,y]$ $I=xA+yA$

Dovada

Orice element poate fi reprezentat ca , unde sunt unele polinoame și este determinat în mod unic de elementul . Condiția este atunci echivalentă cu condiția , ceea ce implică fie , fie . $a\in \mathbb {Q} [x,y]$ $a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y$ $a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]$ $a_{0}\in \mathbb {Q}$ $A$ $ab\în I$ $a_{0}b_{0}=0$ $a_{0}=0$ $b_{0}=0$

Caz necomutativ

Noțiunea de ideal prim al unui inel comutativ este un caz special al noțiunii de ideal primar: un ideal primar al unui inel (nu neapărat comutativ) este orice ideal (care nu coincide cu întregul inel) astfel încât dacă doi elementele sunt astfel încât , atunci sau , sau . $eu$ $A$ $a,b\in A$ $\forall r\in A\arb\in I$ $a\în I$ $b\în I$

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .