Ideal principal

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 24 ianuarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Idealul principal este un ideal generat de un element.

Nu există o notație general acceptată pentru idealurile principale. Uneori, notația , , este folosită pentru idealurile principale stânga, dreapta și, respectiv, cu două fețe ale unui element al unui inel . $\mathrm {capac} _{R}a$ $\mathrm {rid} _{R}a$ $\mathrm {id} _{R}a$ $A$ $R$

Definiție

Idealul stâng al unui inel se numește idealul stâng principal dacă este generat de un singur element . Idealurile principale drepte și idealurile principale cu două părți sunt definite în mod similar . $R$ $A$

Dacă este un inel comutativ , atunci aceste trei concepte sunt echivalente. În acest caz, idealul generat de este notat cu . $R$ $A$ $(A)$

În cazul unui inel asociativ cu unitatea , idealurile principale sunt descrise după cum urmează.

$\mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\)$ .
$\mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\)$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_ {n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}$ .

Dacă este un inel asociativ (în general vorbind, fără unitate), atunci $R$

$\mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \)$ .
$\mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \)$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+ \dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n} ,r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$ .

Nu toate idealurile sunt cele principale. Să considerăm, de exemplu, un inel polinomial comutativ cu coeficienți complexi în două variabile și . Idealul generat de polinoame și , (adică idealul format din polinoame al căror termen liber este egal cu zero) nu va fi principal. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că acest ideal este generat de un element ; atunci trebuie să fie divizibil cu și . Acest lucru este posibil numai dacă este o constantă diferită de zero. Dar într- o singură constantă - zero. Ajungem la o contradicție. $\mathbb {C} [x,y]$ $X$ $y$ $(X y)$ $X$ $y$ $a\in \mathbb {C} [x,y]$ $X$ $y$ $A$ $(X y)$

Definiții înrudite

Un inel ale cărui idealuri sunt principale se numește inel ideal principal .
Inelul integral al idealurilor principale se mai numește și domeniul idealurilor principale . În domeniile idealurilor principale, teorema fundamentală a aritmeticii este valabilă (orice element poate fi factorizat în mod unic în factori primi); dovada acestui fapt este aceeași cu demonstrația pentru cazul numerelor întregi .

Exemple

Toate inelele euclidiene sunt principalele domenii ideale; în ele, se poate folosi algoritmul lui Euclid pentru a găsi elementul generator al unui ideal dat . În general, oricare două idealuri principale ale unui inel comutativ au cel mai mare divizor comun în sensul înmulțirii ideale ; datorită acestui fapt, în domeniile idealurilor principale este posibil să se calculeze (până la înmulțirea cu un element inversabil ) GCD -ul elementelor și ca element generator al idealului . $A$ $b$ $(a,b)$

Literatură

Vinberg E.B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .