Heegaard s-a despărțit

Partiția Heegaard este o partiție a unui grup compact orientat în 3 în două corpuri cu mânere .

Numit după Poul Hegaard , care a fost pionier în studiul unor astfel de partiții în 1898 [1] .

Constructii

Pentru orice varietate compactă tridimensională , există o suprafață care se taie în două corpuri cu mânere , adică în varietăți care sunt homeomorfe unei regiuni închise a spațiului euclidian delimitată de suprafață. $M$ $S$ $M$

Genul suprafeței se numește genul partiției . O partiție se numește minimă dacă nu admite partiții de gen mai mic . Valoarea minimă a genului unei suprafețe se numește genul Heegaard al varietatii . $S$ $M$ $M$ $M$

Exemple

Sfera tridimensională admite o placă Heegaard de genul zero. Cu alte cuvinte, o sferă bidimensională se taieîn două bile. $S^{3}$ $S^{3}$
- Mai mult, toate soiurile care admit o partiție Heegaard de genul zero sunt homeomorfe . $S^{3}$
Torusul încorporat împarte sfera în doi tori solizi, ceea ce dă o altă placă Heegaard din genul 1. (Vezi și fibrarea Hopf .) $S^{3}$
Spațiile lentilelor admit o placă Heegaard din genul unu. Cu alte cuvinte, orice spațiu al lentilei poate fi tăiat de un tor în doi tori solizi.

Proprietăți

Lema lui Alexandru: până la izotopie, există o încorporare unică (liniară pe bucăți) a unei sfere bidimensionale într-o sferă tridimensională.
- Această teoremă poate fi reformulată după cum urmează: sfera tridimensională admite o placă unică Heegaard de genul zero. $S^{3}$

Teorema lui Waldhausen [2] : fiecare partiție este obținută dintr-o partiție de genul zero printr-o operație de sumă conexă cu o partiție a unei sfere de gen 1. $S^{3}$

Teorema Reidemeister–Singer : Pentru orice pereche de partiții și o varietate , există o a treia partiție , care este o stabilizare a ambelor. Adică, poate fi obținut din și luând o sumă conectată cu o partiție de gen 1. $H_1$ $H_2$ $M$ $H$ $H$ $H_1$ $H_2$ $S^{3}$

Orice suprafață minimă dintr-o varietate Riemanniană de 3 cu curbură pozitivă definește o descompunere Heegaard.

Literatură

Enciclopedie matematică. M .: 197 * - 1985, volumul 5, p. 780. (Heegaard s-a despărțit.)
Fomenko, A.T. Geometrie și topologie. Geometrie vizuală și topologie. M. 1992. (Capitolul 2. Varietăți de dimensiuni reduse.)

Note

↑ Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang , Thesis , < http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/heegaardthesis.pdf > Arhivat 4 martie 2016 la mașina Wayback
↑ Saul Schleimer. Teorema lui Waldhausen // Monografii de geometrie și topologie. - 2007. - Vol. 12. - P. 299-317. - doi : 10.2140/gtm.2007.12.299 .