Plan complex

Planul complex [1] este o reprezentare geometrică a mulțimii numerelor complexe . $\mathbb {C}$

Un punct pe un plan real bidimensional cu coordonate reprezintă un număr complex , unde: $\mathbb {R} ^{2}$ $(X y)$ $z=x+iy$

x=\mathrm {Re} \,z

este partea reală (reala) a numărului complex,

y=\mathrm {Im} \,z

este partea sa imaginară.

Cu alte cuvinte, unui număr complex îi corespunde un vector rază cu coordonate Operațiile algebrice asupra numerelor complexe corespund operațiilor asupra punctelor sau vectorilor corespunzători. Astfel, diferitele relații dintre numerele complexe obțin o reprezentare vizuală pe plan complex: $z=x+iy$ $(X y).$

adunarea numerelor complexe corespunde adunării vectorilor cu rază;
înmulțirea cu un număr complex corespunde întoarcerii vectorului rază cu un unghi și întinderii vectorului rază cu un factor; $re^{i\varphi }$ $\varphi$ $r$
rădăcinile a n-a ale unui număr sunt situate la vârfurile unui n-gon regulat centrat la origine.

Funcțiile cu valori complexe ale unei variabile complexe sunt interpretate ca mapări ale planului complex în sine. Mapările conformale joacă un rol special în analiza complexă .

Seturi în plan complex

Seturi deschise

Conceptul fundamental de vecinătate este introdus pe planul complex foarte simplu - o vecinătate a unui punct este o mulțime de formă . Geometric, pe plan complex, vecinătățile au o formă foarte simplă - sunt doar cercuri cu centru în anumite puncte din planul complex. Uneori, pentru comoditate, este necesar să se ia în considerare cartierele perforate . ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ $z_{0}\în {\mathbb C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$

Acum să definim o mulțime deschisă - conform uneia dintre variantele definiției clasice din topologia generală, o mulțime va fi deschisă dacă pentru oricare dintre punctele sale conține o parte din vecinătatea sa. Avem deja definiția cartierului, respectiv, setul deschis nu este complet definit. $\mathbb {C}$

Punct limită și set închis

De asemenea, nu va fi dificil să determinați punctul limită - punctul va fi limită pentru mulțime dacă intersecția nu este goală pentru o vecinătate arbitrară. Cu alte cuvinte, un punct este limitativ dacă va fi întotdeauna posibil să se găsească puncte ale mulțimii într-o „proximitate” arbitrară de el. Mulțimea punctelor limită este uneori numită derivată și se notează . $z_{0}\în {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ $G'$

Un set va fi numit închis dacă includerea este adevărată pentru el . Se vede clar că pentru un set arbitrar setul va fi închis; se numeste inchiderea multimii . $G\subset \mathbb {C}$ $G'\subset G$ $G$ $\overline {G}=G\cup G'$ $G$

Border

Un punct va fi numit punct limită pentru mulțime dacă pentru o vecinătate arbitrară intersecțiile și nu sunt goale. Mulțimea tuturor punctelor de limită se numește mulțime de graniță sau pur și simplu granița . $z_{0}\în {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$ $\partial G$

Pretutindeni seturi dese

O mulțime va fi numită peste tot densă într-o altă mulțime dacă pentru un punct arbitrar și orice vecinătate intersecția nu este goală. $E\subset {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\în G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap E$

Conectivitate

Distanța dintre seturi

După cum se știe din matematica elementară, pe planul complex distanța dintre două puncte este egală cu modulul diferenței lor. Acum să definim distanța dintre un punct și un set ca valoare . $z_{0}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(z_{0},G)=\inf _{{z\in G}}|z-z_{0}|$

Pe baza acestui concept, este deja posibil să se determine distanța dintre două mulțimi arbitrare în : . $\mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\in G_{1}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{2 })=\inf _{{z\in G_{2}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{1})$

Conectivitate

O mulțime se numește conexă dacă satisface relația . Dacă această valoare nu este egală cu zero, atunci setul se numește deconectat . Se poate arăta că o mulțime deconectată poate fi reprezentată ca o uniune (finită sau numărabilă) , unde sunt mulțimi conexe neintersectate, numite componente conexe ale mulțimii . Cardinalitatea unui set de componente conectate se numește ordinea conectivității . $G\subset \mathbb {C}$ $\inf _{{z_{1},z_{2}\in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ $G$ $\sum G_{n}$ $G_{n}$ $G$

Mulțimi convexe, stele și conectate pe cale

O mulțime se numește în formă de stea în raport cu un punct dacă includerea este valabilă pentru un punct arbitrar . $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\în G$ $z\în G$ $\overline {z_{0}z}\subset G$

O mulțime se numește convexă dacă are formă de stea în raport cu oricare dintre punctele sale. O mulțime se numește învelișul convex al unei mulțimi dacă este convexă, iar pentru orice mulțime convexă care conține mulțimea , includerea este valabilă . $G\subset \mathbb {C}$ $G^{*}$ $G$ $G\subset G^{*}$ $G^{{**}}$ $G$ $G^{*}\subset G^{{**}}$

O linie întreruptă este un set de puncte ale planului complex, reprezentate ca o uniune de segmente. O mulțime se numește conexă cu cale dacă pentru două puncte arbitrare există o polilinie astfel încât . $\Gamma$ $G$ $z_{1},z_{2}\în G$ $\Gamma \subset G$ $z_{1},z_{2}\în \Gamma$

Se poate dovedi că orice set conectat la cale va fi conectat. Acest lucru implică imediat că toate seturile convexe și stele sunt conectate.

Curbe pe $\mathbb {C}$

Curbe și trasee

O curbă sau o cale pe plan complex este o mapare a formei . Este de remarcat în special faptul că, cu o astfel de definiție, este posibil să se specifice nu numai tipul curbei, care va depinde de proprietățile analitice ale funcției , ci și de direcția acesteia . De exemplu, funcțiile și vor defini o curbă care este aceeași în aparență, dar traversabilă în direcții opuse. $\mathbb {C}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\eta (t)=\varphi (1-t)$

Homotopia curbelor

Curbele și se numesc homotopice dacă există o curbă în funcție de parametru în așa fel încât și . $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to {\mathbb C}$ $q$ $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$

Geometrie analitică pe plan complex

Studiul figurilor plane este adesea facilitat dacă acestea sunt transferate în plan complex. Multe teoreme de planimetrie permit o notație clară și compactă folosind numere complexe, de exemplu [2] :

Trei puncte (distinte) se află pe aceeași linie dacă și numai dacă este îndeplinită următoarea condiție: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

este un număr real.

Patru puncte (distinte) se află pe același cerc (sau pe aceeași linie) dacă și numai dacă este îndeplinită următoarea condiție: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

raportul este un număr real.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Dacă sunt date trei vârfuri ale unui paralelogram : atunci al patrulea este determinat de egalitatea [3] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Ecuația parametrică a unei drepte pe plan complex are forma [4] :

z=ut+v,

unde sunt numere complexe, este un parametru real arbitrar.

u,v

u\neq 0,t

Unghiul dintre două drepte și este În special, liniile sunt perpendiculare când este un număr pur imaginar. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă există un număr real; dacă și real, atunci ambele linii coincid. Fiecare linie dreaptă taie planul complex în două semiplane: pe unul dintre ele expresia este pozitivă, pe cealaltă este negativă [4] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operatorname {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ $(v'-v)/u$ $z=ut+v$ $t=\operatorname {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ecuația unui cerc cu centru și rază are o formă extrem de simplă: Inegalitatea descrie interiorul unui cerc [4] . Forma parametrică a ecuației cercului este adesea convenabilă [5] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Planul complex extins și punctul la infinit

În analiza complexă , este adesea util să se considere planul complex extins [6] mărit în comparație cu punctul obișnuit la infinit : $(z=\infty )$

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

Geometric, un punct este reprezentat de un punct pe sfera Riemann („polul său nord”). $\infty$

Cu această abordare, se consideră că o secvență (modulo) în creștere infinită converge către un punct la infinit. Operațiile algebrice cu infinit nu sunt efectuate, deși mai multe relații algebrice sunt valabile [6] :

${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Vecinătatea unui punct la infinit este considerată a fi mulțimea de puncte al căror modul este mai mare decât , adică partea exterioară a vecinătății originii. $z$ $1 \over \varepsilon$ $1 \over \varepsilon$

Planul complex extins este numit și sfera Riemann , deoarece este izomorf cu sfera obișnuită (izomorfismul poate fi stabilit, de exemplu, folosind proiecția stereografică ). Funcțiile cu valori complexe pot fi extinse în unele cazuri la sfera Riemann. Deoarece liniile de pe plan (sub proiecție stereografică) se transformă în cercuri pe sferă care conține un punct la infinit, este mai convenabil să luăm în considerare funcțiile complexe pe sferă. $S^{2}$ [ clarifica ]

Note

↑
Tensiunea dublă este dată după următoarele surse.
- Marea Enciclopedie Sovietică , ed. a III-a. (1973), volumul 12, p. 588, articol Numere complexe .
- Dicționar enciclopedic sovietic (1982), p. 613, articol Număr complex .
- Ultima ediție a „Dicționarului dificultăților limbii ruse” (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, p. 273) indică ambele opțiuni: „numere complexe (complexe)”.
- În Marea Enciclopedie Rusă (Volum 14, 2010), din motive inexplicabile, sunt oferite simultan accentele Număr complex (p. 691), dar Analiza complexă (p. 695).
↑ Privalov I.I., 1984 , p. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. zece.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. 12.
↑ 1 2 Sveșnikov A. G., Tihonov A. N., 1967 , p. 20-21.

Literatură

Arnold V. I. Geometria numerelor complexe, a cuaterniilor și a spinilor , MTsNMO, 2002.
Pontryagin L. Numere complexe , Kvant , nr. 3, 1982.
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. - Ed. a XIII-a - M . : Fizmatlit, 1984. - 432 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe - M. : Nauka, 1967. - 304 p.
Solomentsev ED Funcțiile unei variabile complexe și aplicațiile acestora. - M . : Şcoala superioară, 1988. - 167 p. — ISBN 5-06-003145-6 .
Shabat B. V. Introducere în analiza complexă: un manual pentru studenții de mecanică și matematică la universități, Sankt Petersburg: 2004.
Ahlfors Lars V. Analiză complexă. O introducere în teoria funcțiilor analitice ale unei variabile complexe. - A treia editie. - Universitatea Harvard: Compania de carte McGraw-Hill, 1979. - 317 p. — ISBN 0-07-000657-1 .