Punct singular (ecuații diferențiale)

În matematică , un punct singular al unui câmp vectorial este punctul în care câmpul vectorial este egal cu zero. Punctul singular al câmpului vectorial este poziția de echilibru sau punctul de repaus al sistemului dinamic definit de câmpul vectorial dat: traiectoria fazei cu originea în punctul singular constă exact din acest punct singular, iar curba integrală corespunzătoare acestuia este o linie dreaptă paralelă cu axa timpului.

În orice vecinătate mică a spațiului de fază care nu conține puncte singulare, câmpul vectorial poate fi îndreptat printr-o schimbare adecvată de coordonate - astfel, comportamentul sistemului în afara punctelor singulare este același și foarte simplu. Dimpotrivă, în vecinătatea unui punct singular, sistemul poate avea o dinamică foarte complexă. Vorbind despre proprietățile punctelor singulare ale câmpurilor vectoriale, se înțelege de obicei proprietățile sistemului corespunzător într-o mică vecinătate a punctului singular.

Puncte singulare ale câmpurilor vectoriale pe plan

Cele mai simple exemple de puncte singulare sunt punctele singulare ale câmpurilor vectoriale liniare din plan. Cu conceptul de câmp vectorial pe un plan, se poate asocia un sistem liniar de ecuații diferențiale de forma:

,

unde  este un punct pe plan,  este matricea . Evident, punctul în cazul unei matrice nesingulare este singurul punct singular al unei astfel de ecuații.

În funcție de valorile proprii ale matricei , există patru tipuri de puncte singulare nedegenerate ale sistemelor liniare: nod, șa, focus, centru.

Vezi și

• Teorema câmpului vectorial al lui Poincaré