Spirală logaritmică

O spirală logaritmică sau o spirală izogonală  este un tip special de spirală care se găsește adesea în natură.

Istorie

Spirala logaritmică a fost descrisă mai întâi de Descartes și ulterior explorată pe larg de Bernoulli , care a numit-o Spira mirabilis  , „spirala minunată”. Descartes căuta o curbă care să aibă o proprietate similară cu cea a unui cerc , astfel încât tangenta din fiecare punct să formeze același unghi cu vectorul rază în fiecare punct. El a arătat că această condiție este echivalentă cu faptul că unghiurile polare pentru punctele curbei sunt proporționale cu logaritmii vectorilor cu rază.

Ecuații

În coordonatele polare , curba poate fi scrisă ca

sau respectiv

unde  este unghiul de abatere al punctului de la zero, r  este vectorul rază al punctului, a  este coeficientul responsabil pentru raza spirelor, b  este coeficientul responsabil pentru distanța dintre spire, e este numărul Euler .

În formă parametrică, poate fi scris ca

unde a , b  sunt numere reale , t  este un analog în expresia în coordonate polare

Proprietăți

• Unghiul format de tangenta intr-un punct arbitrar al spiralei logaritmice cu vectorul raza punctului tangent este constant si depinde doar de parametrul b . În ceea ce privește geometria diferențială, aceasta poate fi scrisă ca

• Derivata functiei este proportionala cu parametrul b . Cu alte cuvinte, determină cât de strâns și în ce direcție este răsucită spirala. În cazul limitativ, când b = 0 , spirala degenerează într- un cerc cu raza a . În schimb, pe măsură ce b merge la infinit , spirala tinde spre o linie dreaptă. Unghiul care se adună până la 90° se numește panta spiralei.
• Dimensiunea spirelor unei spirale logaritmice crește treptat, dar forma lor rămâne neschimbată.
• Creșterea razei pe unitatea de lungime a unui cerc este constantă. Poate ca urmare a acestei proprietăți, spirala logaritmică apare în anumite forme de creștere, cum ar fi scoici de scoici , capace de floarea -soarelui, ciclon și spirale de galaxie .
• Dacă unghiul crește sau scade într-o progresie aritmetică , atunci r crește (descrește) într-o progresie geometrică .
• Prin rotirea axei polare în jurul polului, se poate elimina complet parametrul a și aduce ecuația la forma , unde m  este un nou parametru.
• Raza de curbură în fiecare punct al spiralei este proporțională cu lungimea arcului spiralei de la începutul ei până la acel punct.

Fapte interesante

• Jacob Bernoulli a vrut o spirală logaritmică gravată pe mormântul său, dar o spirală arhimediană a fost plasată pe piatra funerară din greșeală . Totuși, inscripția latină, gravată conform testamentului în jurul spiralei, „EADEM MUTATA RESURGO” („schimbat, mă ridic”), indică faptul că este vorba despre spirala logaritmică, care are remarcabila proprietate de a-și restabili forma. după diverse transformări.
• În repertoriul lui Tool , compoziția Lateralus este dedicată spiralelor.

• a=0,01, b=0,15

• a=1, b=0,15

• a=1000, b=0,15

• Învelișul unei moluște are o formă apropiată de o spirală logaritmică

• Zona de joasă presiune peste Islanda

• Vârtejul Galaxy Spiral

Generalizare

O spirală logaritmică este o spirală sinusoidală la ;

Vezi și

• spirală aurie

Link -uri

• Wikimedia Commons are medii legate de spirala logaritmică