Măsură finită Sigma

O măsură sigma-finită în analiza funcțională este o măsură astfel încât întregul spațiu poate fi reprezentat ca o uniune numărabilă de seturi măsurabile de măsură finită.

Definiție

Fie un spațiu cu măsură . O măsură se numește σ-finită dacă există o familie numărabilă de mulțimi măsurabile , astfel încât și $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu$ $\{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$ $\mu(A_i) < \infty,\; i\în \mathbb{N}$

X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i

Exemple

Măsura Lebesgue pe este σ-finită deoarece $m$ $\mathbb {R}$

\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots

O măsură numărabilă pe , adică una care nu este σ-finită, deoarece uniunea numărabilă a oricăror mulțimi de măsură finită în acest caz va fi numărabilă, în timp ce întregul spațiu este nenumărabil. $\mu$ $\mathbb {R}$ $\mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R}$

Literatură

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 544 p.