Diferență simetrică

Diferența simetrică a două mulțimi este o operație teoretică, al cărei rezultat este o nouă mulțime care include toate elementele mulțimilor originale care nu aparțin simultan ambelor mulțimi originale. Cu alte cuvinte, dacă există două mulțimi și , diferența lor simetrică este unirea elementelor care nu sunt în cu elementele care nu sunt în . În scris, notația este folosită pentru a desemna diferența simetrică a mulțimilor și , notația sau [1] este mai puțin folosită . $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$ $A\,{\dot {-}}\,B$ $A+B$

Definiție

Diferența simetrică poate fi introdusă în două moduri:

diferența simetrică a două mulțimi date și este o astfel de mulțime , care include toate acele elemente din primul set care nu sunt incluse în al doilea set, precum și acele elemente din al doilea set care nu sunt incluse în primul set: $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\dreapta)\cup \left(B\setminus A\dreapta).

diferența simetrică a două mulțimi date și este o astfel de mulțime care include toate acele elemente ale ambelor mulțimi care nu sunt comune celor două mulțimi date. $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).

Conceptul de diferență simetrică poate fi generalizat la mai mult de două seturi .

Proprietăți

Diferența simetrică este o operație binară pe orice boolean ;
Diferența simetrică este comutativă :

A\bigtriangleup B=B\,\triunghi \,A;

Diferența simetrică este asociativă :

\left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triunghi \,C\dreapta);

Intersecția mulțimilor este distributivă în raport cu diferența simetrică:

A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);

Mulțimea goală este elementul neutru al diferenței simetrice:

A\bigtriangleup \varnothing =A;

Orice mulțime este inversă față de ea însăși în raport cu operația de diferență simetrică:

A\bigtriangleup A=\varnothing ;

În special, un boolean cu o operație de diferență simetrică este un grup abelian ;
Booleanul cu operația de diferență simetrică este, de asemenea, un spațiu vectorial peste câmp $\mathbb {Z} _{2}.$
În special, booleanul cu operații de intersecție și diferență simetrică este o algebră cu unitate .
$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$

Dacă rolul „sumei” este jucat de operarea unei diferențe simetrice, iar rolul „produsului” este jucat de intersecția mulțimilor , atunci mulțimile formează un inel cu unitate . Mai mult, alte operații de bază ale teoriei mulțimilor, diferența și unirea, pot fi exprimate prin ele: