Spațiul simplectic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un spațiu simplectic este un spațiu vectorial S cu o formă simplectică definită pe el , adică o formă 2 nedegenerată biliniară simetrică : $\omega$

\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )

\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )

\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\există \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\ omega (\mathbf {a},\mathbf {b})\neq 0

Forma simplectică este de obicei indicată . Spre deosebire de forma de produs punctual , pentru care $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$

\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0

pentru o formă simplică, întotdeauna $\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Definiții înrudite

O transformare liniară L a unui spațiu simplectic se numește simplectică dacă păstrează forma simplectică:

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a}), L(\mathbf {b} )\right\rangle

Mulțimea tuturor transformărilor simplectice ale spațiului S formează un grup numit grup simplectic și notat cu Sp(S) .
Matricea unei transformări simplectice se numește matrice simplectică .
Un subspațiu s al unui spațiu simplectic S se numește simplectic dacă restricția formei simplectice la s este nedegenerată.
Se spune că doi vectori sunt oblic-ortogonali dacă $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0

Rețineți că orice vector este oblic-ortogonal față de el însuși.

Complementul oblic-ortogonal al unui subspațiu este mulțimea tuturor vectorilor care sunt oblic-ortogonali la orice vector din . $s\subset S$ $s$

Structura canonică

Structura simplectică poate fi introdusă pe orice spațiu vectorial de dimensiune uniformă. Se poate arăta că formele 2 simetrice nedegenerate nu există pe un spațiu cu dimensiuni impare. Toate spațiile simplectice de aceeași dimensiune sunt izomorfe simplectice . Aceste fapte rezultă din teorema Darboux pentru spațiile simplectice. Ideea dovezii este următoarea. Luați în considerare un vector . În virtutea non-degenerării , există un vector astfel încât $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$ $\omega$ $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$

\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1

Se consideră complementul oblic-ortogonal la intervalul liniar V al vectorilor și . Se poate demonstra că acesta va fi un subspațiu (2 n -2)-dimensional al lui S care nu se intersectează cu c V , iar restricția asupra acestuia este nedegenerată. Prin urmare, procesul poate fi continuat prin inducție. Pentru un spațiu de dimensiuni impare, procesul se termină pe un subspațiu unidimensional, pe care este evident degenerat, deci presupunerea existenței unei structuri simplectice a fost incorectă. Pentru un spațiu uniform, obținem o bază $\mathbf {p_{1}}$ $\mathbf {q_{1)}$ $\omega$ $\omega$

(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )

astfel încât

\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0

unde este simbolul Kronecker . Se numește baza canonică sau baza Darboux . $\delta _{{ij}}$

În baza canonică, matricea formei simplectice ia forma

\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}

unde este matricea de identitate de ordinul n . este o matrice simplectică. $În}$ $\Omega _{n)$

Structura subspațiilor

Luați în considerare un subspațiu și complementul său oblic-ortogonal . Din cauza non-degenerării : $W\subset \mathbb {S}$ $W^{\perp )$ $\omega$

\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}

In afara de asta,

(W^{\perp })^{\perp }=W

În general, aceste subspații se intersectează. În funcție de poziția lor reciprocă, se disting 4 tipuri de subspații:

Simplectic : . Acest lucru este adevărat dacă și numai dacă restricția la W este nedegenerată, astfel încât o astfel de definiție a subspațiilor simplectice coincide cu cea dată mai devreme. În coordonatele Darboux adecvate, W are forma $W\cap W^{\perp }=0$ $\omega$

(p_{1},\dots,p_{k},0,\dots,0;~q_{1},\dots,q_{k},0,\dots,0),\,2k= \dim \,W

Izotrop : . Un subspațiu este izotrop dacă și numai dacă este identic egal cu zero pe el. Orice subspațiu unidimensional este izotrop. În coordonatele Darboux adecvate, W are forma $W\subset W^{\perp }$ $\omega$

(p_{1},\dots,p_{k},0,\dots,0;~0,\dots,0),\,k=\dim \,W

coizotrop : . W este coizotrop dacă și numai dacă este nedegenerat în spațiul coeficientului . Orice subspațiu al codimensiunii 1 este coizotrop. În coordonatele Darboux adecvate, W are forma $W^{\perp }\subset W$ $\omega$ $W\,/\,W^{\perp )$

(p_{1},\dots,p_{n};~q_{1},\dots,q_{k},0,\dots,0),\,n+k=\dim \,W ,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Lagrangian : . W este lagrangian dacă și numai dacă este izotrop și coizotrop. Orice subspațiu izotrop este încorporat într-un Lagrangian, iar orice subspațiu coizotrop conține un Lagrangian. În coordonatele Darboux adecvate, W are forma $W^{\perp }=W$

(p_{1},\dots,p_{n};~0,\dots,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Mulțimea tuturor subspațiilor lagrangiene ale unui spațiu de dimensiunea 2n formează o varietate numită Grassmanianul Lagrangian . Este difeomorfă cu varietatea clasei a grupului unitar în raport cu subgrupul ortogonal , în timp ce $\Lambda _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$ $\mathbb {O} _{n}$

\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2))

Exemple

Într-un spațiu complex , se poate defini o formă biliniară oblică-simetrică prin formula $\mathbb{C}^n$

\left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]

unde este forma hermitiana . Această formă definește o structură simplectică asupra reificării spațiului .

\stanga[\cdot ,\cdot \right]

\mathbb {R} ^{2n)

\mathbb{C}^n

Pentru orice spațiu V , există o structură simplectică canonică pe spațiu , unde este spațiul dual cu V. Produsul skew-scalar este definit pentru vectorii de bază în V și conjugații acestora prin formula $V\oplus V^{*}$ $V^*$

\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V

\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}

și se extinde la toți ceilalți vectori prin liniaritate.

Vezi și

Literatură

Arnold V. I., Givental A. B. Geometrie simplectică . - Ed. a II-a - Izhevsk: RHD, 2000. - 168 p. — ISBN 5-7029-0331-5 . (link indisponibil)
Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Fomenko A. T. Geometrie simplectică. Metode și aplicații . - M. : Editura MSU, 1988. - 414 p. (link indisponibil)