Categoria simplă

O categorie simplială (și categorie simplex , categoria ordinală ) [1] este o categorie de ordinale finite nevide ale căror morfisme sunt funcții monotone . Joacă un rol important în topologia algebrică [2] și stă la baza unor construcții precum obiectul simplicial și mulțimea simplială .

O categorie simplială (uneori se folosește notația [3] ) este construită din obiecte de forma , unde este un număr natural , și morfisme care decurg din . Cu alte cuvinte, obiectele categoriei simpliale sunt numerele ordinale finite , iar morfismele sunt funcții nestrict monotone între ele. Ordinalul este obiectul inițial al categoriei și este terminalul . $\Delta$ $\mathbf {Ord}$ $[n]=\{0,1,\dots ,n\)$ $n$ $f:[n]\la [n']$ $i\leqslant j$ $f(i)\leqslant f(j)$ $[0]$ $[1]$

Proprietăți

Orice morfism dintr-o categorie simplială poate fi generat printr-o compoziție de morfisme [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\la [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\la [n]

definit după cum urmează:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}

(creșterea cartografierii injective , „scurgeri” )

i

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}

(o mapare surjectivă nedescrescătoare care ia o valoare de două ori).

i

Mai mult, pentru fiecare există o reprezentare unică: $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$

f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n- s+1}\sigma _{j_{t}}^{mt}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}

unde , , . $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$ $n=m-t+s$

Aceste morfisme satisfac următoarele relații:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, dacă ,

i<j

\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}

, dacă ,

i\leqslant j

\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}

Aceste relații determină în mod unic morfismele și . $\delta$ $\sigma$

Definiții înrudite

Adunarea ordinală este un bifunctor definit pe numerele ordinale ca adunare obișnuită: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

[n]+[n']=[n+n']

iar pentru morfisme și după următoarea schemă: $f:[n]\la [n']$ $g:[m]\la [m']$

(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\end{cazuri}}

O categorie simplială cu adunare ordinală formează o categorie strict monoidală .

Aplicațiile folosesc, de asemenea, o categorie simplială augmentată , o categorie simplială completată cu un ordinal : . Uneori, o categorie simplială augmentată este numită categorie simplială algebrică , caz în care se numește una topologică . $\Delta _{+)$ $[-1]=\varnothing$ $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ $\Delta$

Note

↑ Uneori , un obiect simplic din categoria categoriilor mici se numește categorie simplială . În plus, uneori, categoriile îmbogățite simplist sunt numite în același mod - categorii îmbogățite peste categoria seturilor simple . Dacă există un termen „categorie simplă” pentru în contextul unor astfel de construcții , ei încearcă să evite utilizarea termenilor alternativi sau doar a unei denumiri. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , p. 204.
↑ Cât de des se notează și categoria tuturor mulțimilor ordonate liniar în care categoria simplială este o subcategorie completă $\mathbf {Ord}$
↑ Simplicial object - Encyclopedia of Mathematics articol . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Literatură

McLane S. Capitolul 7. Monoizi // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. Categorii de fracții și teoria homotopiei = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Tradus din engleză de M. M. Postnikova . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 p.