Obiect de pornire

(redirecționat de la „ Obiecte inițiale și terminale ”)

Un obiect inițial ( obiect respingător , obiect inițial ) este un obiect de categorie astfel încât pentru orice obiect există un morfism unic . $eu$ ${\mathcal C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C)}$ $I\la X$

Conceptul dual este un obiect terminal ( obiect atractiv ): un obiect este terminal dacă pentru orice obiect există un morfism unic . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C)}$ $X\la T$

Dacă un obiect este atât inițial, cât și terminal, se numește obiect nul .

Mulțimea goală este singurul obiect inițial din categoria seturilor , seturile singleton ( singletons ) sunt obiecte terminale, nu există obiecte nule. În categoria mulțimilor de puncte marcate, singleton-urile sunt obiecte nule, la fel ca în categoria spațiilor topologice de puncte marcate.

Obiectele inițiale și terminale nu există în nicio categorie, dar dacă există, atunci sunt definite în mod unic: dacă și sunt obiecte inițiale, există un izomorfism între ele și singurul. $I_1$ $eu_{2}$

Obiectele terminale sunt limitele diagramei goale , adică produsele goale . În mod similar, obiectele inițiale sunt colimite și coproduse goale. De aici rezultă că un functor care păstrează limitele (colimitele) păstrează obiectele terminale (inițiale), respectiv. $\varnothing \to {\mathcal {C)}$

Exemple

În categoria grupurilor, precum și în categoriile grupuri abeliene, module peste un inel și spații vectoriale, există un obiect nul (în legătură cu care a apărut termenul „obiect nul”).

În categoria inelelor, inelul numerelor întregi este obiectul inițial, iar inelul nul c este obiectul terminal. Nu există elemente de început și de sfârșit în categoria câmpului . Cu toate acestea, în întreaga subcategorie de câmpuri ale caracteristicii există un obiect inițial - un câmp de elemente. $\mathbb {Z}$ $0=1$ $p$ $p$

În categoria tuturor categoriilor mici (cu functori ca morfisme), obiectul inițial este categoria goală, iar obiectul terminal este categoria cu singurul obiect și morfism. ${\mathbf 1}$

Orice spațiu topologic poate fi considerat ca o categorie ale cărei obiecte sunt mulțimi deschise și între oricare două mulțimi deschise astfel încât , există un morfism unic. Setul gol este obiectul inițial al acestei categorii, cel terminal. Pentru o astfel de categorie a unui spațiu topologic și o categorie mică arbitrară , toți functorii contravarianți de la la cu transformări naturale formează o categorie numită categoria presheaves on cu coeficienți în . Dacă are un obiect inițial , atunci maparea functorului constant la este obiectul inițial al categoriei de presheaves, afirmația duală este de asemenea adevărată. $X$ $U\subset V$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $c$ $X$ $c$

În categoria circuitelor , spectrul este obiectul terminal, iar circuitul gol este obiectul inițial. $\mathbf {Spec.} (Z)$

Obiectele inițiale și terminale pot fi, de asemenea, caracterizate folosind săgeți universale și functori adjuncți . Pentru o categorie cu un singur obiect și un (singur) functor, obiectul inițial al categoriei este săgeata universală de la la . Functorul care trimite la este adjunctul din stânga lui . În consecință, obiectul terminal al categoriei este săgeata universală de la la , iar functorul care trimite la este adjunctul drept pentru . În schimb, o săgeată generică de la la un functor poate fi definită ca un obiect inițial în categoria virgulă . Dual, un morfism universal de la la este un obiect terminal în . ${\mathbf 1}$ $\glonţ$ $U\colon {\mathcal {C}}\la \mathbf {1}$ $eu$ ${\mathcal C}$ $\glonţ$ $U$ $\glonţ$ $eu$ $U$ $T$ ${\mathcal C}$ $U$ $\glonţ$ $\glonţ$ $eu$ $U$ $X$ $U$ $(X\downarrow U)$ $U$ $X$ $(U\downarrow X)$

Literatură

McLane S. Capitolul 1. Categorii, functori şi transformări naturale // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .