Distribuție singulară

O distribuție singulară (în ceea ce privește măsura ) este o distribuție de probabilitate care este centrată pe o mulțime astfel încât . Cu toate acestea, este adesea folosită o definiție mai restrânsă, care spune că o distribuție în spațiu se numește singular , concentrată pe un set de măsură Lebesgue zero și atribuind probabilitate zero fiecărui set de un punct [1] . Este important de remarcat că, conform definiției generale, orice distribuție discretă este singulară în raport cu măsura Lebesgue, dar într-o anumită definiție, distribuțiile discrete sunt derivate din mulțimea celor singulare. $\mu$ $M$ $\mu (M)=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

Pentru un spațiu unidimensional, se poate argumenta, de asemenea, că distribuția este singulară dacă setul de puncte de creștere a funcției de distribuție are măsura zero.

Proprietăți

O distribuție singulară nu poate fi absolut continuă (prin teorema Radon-Nikodim ).

Orice distribuție de probabilitate poate fi reprezentată ca următoarea sumă: $F$

{\displaystyle F=pF_{s}+qF_{ac))

unde , , , distribuția este singulară față de măsura , iar distribuția este absolut continuă față de aceeași măsură [2] . $\quad p\geqslant 0$ $q\geqslant 0$ $p+q=1$ $F_{s)$ $\mu$ $F_{ac)$

Exemple

Cel mai simplu exemplu de distribuție singulară este o distribuție centrată pe un set Cantor (funcția sa de distribuție este scara Cantor ).

O distribuție singulară mai comună în problemele practice este distribuția direcțiilor aleatoare într-un spațiu euclidian bidimensional [2] . Direcția aleatoare corespunde unui vector unitar rotit printr-un unghi aleatoriu în raport cu vectorul . Alegerea unei direcții aleatoare este echivalentă cu alegerea unui punct aleatoriu pe cercul unitar, care, la rândul său, are zonă zero, prin urmare, această distribuție este singulară. $(1,0)$

Note

↑ Distribuție singulară // Enciclopedie matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ 1 2 Feller V. Introducere în teoria probabilității și aplicațiile acesteia. - Ed. a II-a. - M . : Mir, 1964. - T. 2. - S. 177-179.