Inegalitatea sistolică

Inegalitatea sistolică - o inegalitate de următoarea formă

\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M)),

unde este o varietate riemanniană de dimensiuni închise dintr-o anumită clasă, este lungimea celei mai scurte curbe închise necontractibile de pe (așa-numita sistolă ) și este volumul acesteia. $M$ $n$ $\operatorname {sys} M$ $M$ $M$ $\operatorname {vol} M$

Ca o anumită clasă, se ia de obicei tipul topologic al varietății, dar uneori se consideră, de exemplu, clasa varietăților riemanniene echivalentă conform uneia date.

Pentru multe tipuri topologice de varietăți, de exemplu, pentru produsul unei sfere și unui cerc, inegalitatea sistolice nu este valabilă - există metrici riemanniene cu un volum arbitrar mic și o sistolă arbitrar lungă. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1)$ $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1)$

Exemple

Inegalitatea lui Loewner este inegalitatea sistolică optimă pentru un tor bidimensional cu constantă. $\mathbb {T} ^{2}$ ${\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}}$
Inegalitatea lui Poo este inegalitatea sistolica optima pentru planul proiectiv real cu constanta . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2)$ ${\sqrt {\tfrac {\pi {2}}}$
Constanta optimă este cunoscută și pentru sticla Klein ; ea este egală cu . [unu] ${\tfrac {\sqrt {\pi }}{2^{3/4)}}$
Inegalitatea sistolică este valabilă pentru metrica echivalentă conform metricii canonice pe torus și spațiul proiectiv al tuturor dimensiunilor. Mai mult, egalitatea este realizată pentru metrica canonică.
Inegalitatea lui Gromov pentru soiurile esențiale [2] $\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M)),$
- În special, inegalitatea sistolică este valabilă pentru toate suprafețele închise, cu excepția sferei, precum și pentru spațiile tori și proiective de toate dimensiunile.
- Se știe că constanta optimă nu depășește . [3] $c_n$ ${\sqrt[{n}]{n!)}}={\tfrac {n}{e}}+o(n)$
- Un exemplu de spațiu proiectiv cu o metrică canonică oferă o limită inferioară a , care crește ca ; poate aceasta este constanta optima. $c_n$ ${\sqrt {n}}$

Note

↑ C. Bavard. „Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein”. Matematică. Ann. 274.3 (1986), 439–441.
↑ Gromov, M. (1983), Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. T. 18: 1–147
↑ Alexander Nabutovsky, Limite liniare pentru constante în inegalitatea sistolică a lui Gromov și rezultatele aferente. arXiv : 1909.12225