Plan proiectiv real

Poligonul fundamental planului proiectiv.	O bandă Möbius cu o singură margine poate fi închisă în planul proiectiv prin lipirea marginilor opuse împreună.	Pentru comparație, o sticlă Klein este o bandă Möbius închisă într-un cilindru.

Planul proiectiv real este un exemplu de 2 - varietate compactă neorientată , cu alte cuvinte, o suprafață unilaterală . Planul proiectiv nu poate fi încorporat în spațiul tridimensional obișnuit fără auto-intersecție. Principalul domeniu de aplicare al acestui plan este geometria , deoarece construcția principală a planului proiectiv real este spațiul de linii din R 3 care trec prin origine.

Planul este adesea descris topologic în termeni de construcție bazată pe banda Möbius - dacă lipiți marginea (singura) a benzii Möbius pe sine în direcția corectă, obțineți un plan proiectiv (acest lucru nu se poate face în spațiul tridimensional). ). În mod echivalent, lipirea unui cerc de-a lungul limitei unei benzi Möbius produce un plan proiectiv. Din punct de vedere topologic, suprafața are caracteristica Euler 1 deoarece semi -genul (non-orientabil sau genul Euler) este 1.

Deoarece banda Möbius, la rândul ei, poate fi construită dintr-un pătrat prin lipirea a două dintre laturile sale împreună, planul proiectiv real poate fi reprezentat ca un pătrat unitar (adică [0,1] × [0,1]), în care laturile sunt identificate prin următoarea relație de echivalență :

(0,y)\sim (1,1-y),0\leqslant y\leqslant 1

și

(x,0)\sim (1-x,1),0\leqslant x\leqslant 1

ca in poza din stanga de mai sus.

Exemple

Geometria proiectivă nu este neapărat despre curbură, iar planul proiectiv real poate fi răsucit și plasat în planul euclidian sau spațiul tridimensional în multe feluri [1] . Câteva exemple importante de cuibărit avioanelor sunt descrise mai jos.

Planul proiectiv nu poate fi încorporat (fără intersecții) în spațiul euclidian tridimensional . Dovada acestui lucru este cam așa: Să presupunem că planul este încorporat, apoi planul proiectiv delimitează o regiune compactă a spațiului euclidian tridimensional conform teoremei Jordan generalizate . Câmpul vectorial unitar direcționat spre exterior definește apoi orientarea limitei varietății, dar limita varietății este planul proiectiv , care nu este orientabil. Avem o contradicție.

Sfera proiectivă

Luați în considerare o sferă , să fie cercurile mari ale sferei „linii drepte” și perechile de puncte antipode să fie „puncte”. Este ușor de verificat că sistemul respectă axiomele planului proiectiv :

orice pereche de cercuri mari distincte se intersectează la o pereche de puncte antipode
oricare două perechi distincte de puncte antipode se află pe un singur cerc mare

Dacă identificăm orice punct de pe sferă cu punctul său antipod, obținem o reprezentare a planului proiectiv real, în care „punctele” planului proiectiv sunt puncte reale. Aceasta înseamnă că planul proiectiv este spațiul coeficient al sferei, care se obține prin împărțirea sferei în clase de echivalență prin relația , unde dacă y = −x. Acest spațiu coeficient este homeomorf la mulțimea tuturor dreptelor care trec prin originea în R 3 . $\sim$ $x\sim y$

Maparea factorilor de la sferă la planul proiectiv real este, de fapt, o acoperire cu două foi (adică două la unu) . Rezultă că grupul fundamental al planului proiectiv real este un grup ciclic de ordinul 2. Se poate lua ciclul AB din figura de mai sus ca generator.

Emisferă proiectivă

Deoarece sfera acoperă de două ori planul proiectiv real, planul proiectiv poate fi reprezentat ca o emisferă închisă, în care sunt identificate punctele opuse ale marginii [2] .

Battle Surface - Immersion

Planul proiectiv poate fi scufundat (vecinățile locale ale domeniului de definiție nu au auto-intersecții) în spațiul tridimensional. Suprafața lui Boi este un exemplu de astfel de imersiune.

Exemplele poliedrice trebuie să aibă cel puțin nouă fețe [3] .

Suprafata romana

Suprafața Steiner Roman este o mapare degenerată a planului proiectiv într-un spațiu tridimensional care conține banda Möbius .

Reprezentarea poliedrului este tetrahemihexaedrul [4] , care are aceeași formă generală ca suprafața Steiner.

Semipoliedre

În cealaltă direcție, unele poliedre regulate abstracte , semicubul , semidodecaedrul și semiicosaedrul , pot fi construite ca figuri în plan proiectiv . Vezi articolul " Poliedru proiectiv ".

Proiecții plane

Au fost descrise diferite proiecții plane sau proiecții ale planului proiectiv. În 1874, Klein a descris maparea [1] $k(x,y)={\sqrt {1+x^{2}+y^{2}}}.(x,y)$

Proiecția centrală a unei emisfere proiective pe un plan dă planul proiectiv infinit obișnuit, descris mai jos.

banda Möbius

Dacă lipim cercul cu banda Möbius , obținem o suprafață închisă. Această suprafață poate fi reprezentată parametric prin următoarele ecuații:

X(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\cos u,

Y(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\sin u,

Z(u,v)=-\mathrm {th} \,\left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,

unde u și v merg de la 0 la 2 π . Aceste ecuații sunt similare cu cele pentru un tor . Figura 1 prezintă un disc închis cu o bandă Möbius.

Figura 1. Două vederi ale unui disc cu o bandă Möbius.

Discul cu banda Möbius are un plan de simetrie , care trece printr-un segment cu puncte de intersecție (în figură, planul va fi orizontal). În figura 1, discul de bandă Möbius este prezentat de sus în raport cu planul de simetrie z = 0, dar va arăta exact la fel când este privit de jos.

Un disc cu o bandă Möbius poate fi tăiat de-a lungul planului de simetrie cu condiția ca niciun punct dublu să nu fie tăiat. Rezultatul este prezentat în Figura 2.

Figura 2. Două vederi ale unui disc disecat cu o bandă Möbius.

În această condiție, se poate observa că un disc disecat cu o bandă Möbius este homeomorf cu un disc cu auto-intersectare, așa cum se arată în Figura 3.

Figura 3. Două vederi diferite ale unui disc care se intersectează.

Un disc cu auto-intersectare este homeomorf cu un disc obișnuit. Ecuații parametrice ale unui disc cu auto-intersectare:

X(u,v)=r\,v\,\cos 2u,

Y(u,v)=r\,v\,\sin 2u,

Z(u,v)=r\,v\,\cos u,

unde u variază de la 0 la 2 π și v de la 0 la 1.

Proiecția unui disc care se intersectează pe un plan de simetrie ( z = 0 sub parametrizarea de mai sus), care trece doar prin puncte duble, este un disc obișnuit care se repetă (se pliază pe el însuși).

Planul z = 0 taie discul care se intersectează într-o pereche de discuri care sunt imagini în oglindă unul cu celălalt. Discurile sunt centrate la origine .

Luați în considerare acum jantele discului (cu v = 1). Punctele de pe marginea unui disc care se auto-intersectează vin în perechi ca reflexii unul altuia în jurul planului z = 0.

Discul cu banda Möbius se formează prin identificarea acestor perechi de puncte. Aceasta înseamnă că un punct cu parametri ( u ,1) și coordonate este identificat cu un punct ( u + π,1) ale cărui coordonate sunt . Dar aceasta înseamnă că sunt identificate perechi de puncte opuse de pe marginea unui disc obișnuit (echivalent). Astfel, din disc se formează un plan proiectiv real, astfel încât suprafața prezentată în Figura 1 (discul cu banda Möbius) este echivalentă din punct de vedere topologic cu planul proiectiv real RP 2 . $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)$ $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)$

Coordonate omogene

Punctele planului pot fi reprezentate prin coordonate omogene . Punctul are coordonate omogene , în timp ce coordonatele și corespund aceluiași punct pentru toate valorile non-nule ale lui t . Punctele cu coordonate reprezintă planul real obișnuit , care se numește partea finită a planului proiectiv, iar punctele cu coordonate sunt numite puncte la infinit sau puncte ideale , care formează o dreaptă, care se numește linie la infinit . Coordonatele omogene nu reprezintă niciun punct. $[x:y:z]$ $[x:y:z]$ $[tx:ty:tz]$ $[x:y:1]$ $[x:y:0]$ $[0:0:0]$

Liniile din plan pot fi reprezentate prin coordonate omogene. Linia proiectivă corespunzătoare planului din R 3 are coordonate omogene . Astfel, aceste coordonate au o relație de echivalență pentru toate valorile diferite de zero ale lui d . Aceasta este o consecință a faptului că ecuația aceleiași drepte dă aceleași coordonate omogene. Un punct se află pe o dreaptă dacă . Astfel, liniile cu coordonatele unde a și b nu sunt egale cu 0 corespund dreptelor din planul real obișnuit , deoarece conțin puncte care nu se află la infinit. Linia cu coordonate este o linie la infinit, deoarece pe ea se află numai puncte pentru care . $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(a:b:c)=(da:db:dc)$ $dax+dby+dcz=0$ $[x:y:z]$ $(a:b:c)$ $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(0:0:1)$ $z=0$

Puncte, linii și plane

O dreaptă în planul P 2 poate fi reprezentată prin ecuația . Dacă considerăm a , b și c ca vector coloană g , și x , y , z ca vector coloană x , atunci ecuația de mai sus poate fi scrisă ca: $ax+by+cz=0$

\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0

sau .

\mathbf {g} ^{T}\mathbf {x} =0

Folosind notația vectorială, putem în schimb să scriem

\mathbf {x} \ldots \mathbf {g} =0

sau .

\mathbf {g} \ldots \mathbf {x} =0

Ecuația (unde k este un scalar diferit de zero) mătură un plan care trece prin origine la R 3 , iar k ( x ) mătură din nou o dreaptă prin origine. Planul și linia sunt subspații liniare în R 3 care trec întotdeauna prin origine. $k(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} )=0$

Puncte ideale

În P 2 ecuația unei drepte este , iar această ecuație poate reprezenta orice dreaptă pe orice plan paralel cu planul x , y atunci când ecuația este înmulțită cu k . $ax+by+c=0$

Dacă z = 1, avem coordonatele omogene normalizate. Toate punctele pentru care z = 1 creează un plan. Să ne imaginăm că privim acest plan (dintr-un punct mai departe de-a lungul axei z și privind spre origine) și există două drepte paralele pe plan. Din punct de vedere, putem vedea doar o parte a planului (datorită proprietăților vederii), care este evidențiată cu roșu în figură. Dacă ne îndepărtăm de plan de-a lungul axei z (în timp ce continuăm să privim spre origine), putem vedea cea mai mare parte a planului. Punctele de plecare ale fragmentului nostru de vedere sunt în mișcare. Putem reflecta această mișcare împărțind coordonatele omogene la o constantă. În figură, am împărțit la 2, deci valoarea z este acum 0,5. Dacă ne depărtăm suficient, zona în cauză se transformă într-un punct. Pe măsură ce ne îndepărtăm, vedem liniile din ce în ce mai larg, în timp ce liniile paralele se intersectează pe linia la infinit (linia care trece prin origine pe planul z \u003d 0). Dreptele de pe planul z = 0 sunt puncte ideale. Planul z = 0 este o dreaptă la infinit.

Un punct cu coordonate uniforme (0, 0, 0) este punctul în care toate punctele reale converg atunci când privești planul de la infinit, iar linia de pe planul z = 0) este linia în care toate liniile paralele se intersectează.

Dualitate

Există doi vectori coloană în ecuație . Puteți schimba altul păstrând o coloană constantă. Dacă menținem constant punctul x și modificăm coeficienții g , creăm noi drepte care trec prin punct. Dacă menținem coeficienții constanți și modificăm punctele care satisfac ecuația, creăm o dreaptă. Tratăm x ca pe un punct deoarece axele pe care le folosim sunt x , y și z . Dacă folosim în schimb axele a , b , c ca coeficienți , punctele devin drepte, iar liniile drepte devin puncte. Dacă demonstrăm un fapt pentru reprezentarea grafică a datelor pe axele x , y și z , același raționament poate fi folosit pentru axele a , b și c . Aceasta se numește dualitate. $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$

Linii care leagă punctele și intersecțiile liniilor (folosind dualitatea)

Ecuația calculează produsul scalar al vectorilor doi coloane. Produsul scalar al doi vectori este zero dacă vectorii sunt ortogonali . În planul P 2 , linia dintre punctele x 1 și x 2 poate fi reprezentată ca un vector coloană g care satisface ecuațiile și , sau, cu alte cuvinte, un vector coloană g care este ortogonal cu vectorii x 1 și x 2 . Produsul încrucișat găsește un astfel de vector - o linie dreaptă care leagă două puncte are coordonate omogene date de ecuația - . Intersecția a două drepte poate fi găsită în același mod, folosind dualitatea, ca produs încrucișat al vectorilor reprezentând liniile . $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{1}^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{2}^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2)$ $\mathbf {g} _{1}\times \mathbf {g} _{2)$

Încorporarea în spațiu 4-dimensional

Planul proiectiv este încorporat în spațiul euclidian cu 4 dimensiuni. Planul proiectiv real P 2 ( R ) este spațiul coeficient al celei 2-sfere

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}3:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}

in relatie antipoda . Se consideră o funcție dată ca . Această mapare este limitată la o mapare al cărei domeniu este S 2 și, deoarece fiecare termen este un polinom omogen de grad par, ia aceleași valori în R 4 la fiecare dintre cele două puncte antipodale ale sferei S 2 . Aceasta oferă afișajul . Mai mult, această mapare este un atașament. Rețineți că această încorporare permite proiecția în R3 care o romană . $(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)$ $\mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{4)$ $(x,y,z)\mapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)$ $\mathbf {P} ^{2}(\mathbf {R} )\rightarrow \mathbf {R} ^{4)$

Suprafețe neorientabile ale semigenului superior

Prin lipirea planurilor proiective unul după altul, obținem suprafețe neorientabile ale unui semigen superior . Procesul de lipire constă în tăierea unui disc mic de pe fiecare suprafață și identificarea ( lipirea ) limitelor. Lipirea a două planuri proiective dă o sticlă Klein .

Articolul despre poligonul fundamental descrie suprafețele neorientabile ale unui semigen superior.

Vezi și

Spațiu proiectiv real
spațiu proiectiv
Spațiu proiectiv neted

Note

↑ 1 2 Apéry, 1987 .
↑ Săptămâni, 2002 , p. 59.
↑ Brehm, 1990 , p. 51-56.
↑ Richter .

Literatură

Apery F. Modele ale planului proiectiv real. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
Coxeter HSM Planul proiectiv real. — Ed. a II-a. — Cambridge: At the University Press, 1955.
Reinhold Baer. Algebră liniară și geometrie proiectivă. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
David A. Richter. Două modele ale planului proiectiv real .
Săptămâni J. Forma spațiului. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (MONOGRAFII ȘI MANUALE ÎN Matematică Pură și Aplicată). — ISBN 0-8247-0709-5 .
Brehm U. Cum se construiesc modele poliedrice minimale ale suprafeței Boy // The mathematical intelligencer. - 1990. - T. 12 , nr. 4 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Real Projective Plane (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Colorarea câmpului de linii folosind imersiunea reală în plan proiectiv a lui Werner Boy
Adevăratul plan proiectiv pe YouTube

Suprafețe compacte și imersiile lor în spațiul tridimensional

Clasa de homeoformitate a unei suprafețe triangulate compacte este determinată de orientabilitate, numărul de componente de limită și caracteristica Euler.

fara limita

Orientabil	Sferă (genul 0) Thor (genul 1) „Opt” (genul 2) " Covrigi " (genul 3)...
Neorientabil	Plan proiectiv real genul 1; Suprafața de luptă suprafață romană Sticla Klein (genul 2) Suprafața Dick (genul 3)...

cu bordura

Disc
- emisferă
Panglică
- Inel
- Cilindru
Fâșia Mobius
- bandă Möbius
Sfera cu trei gauri...

Concepte înrudite

Proprietăți	Conectivitate compactitatea Triunghiulare sau netezime Orientabilitate
Caracteristici	Numărul de componente de chenar Gen caracteristica lui Euler
Operațiuni	Suma conectată tăierea găurilor Lipirea mânerului Atașarea benzii Möbius Imersiune