Diversitate substanțială

Soiurile esențiale sunt un tip special de soiuri închise. Conceptul a fost introdus de Gromov în studiul inegalității sistolice . [unu]

Definiție

$n$ Se spune că o varietate închisă dimensională este esențială dacă există un spațiu topologic asferic și o mapare continuă care duce clasa fundamentală la o clasă de omologie diferită de zero . $M$ $K$ $M\la K$ $M$ $K$

Cu alte cuvinte, clasa fundamentală definește un element diferit de zero în omologia grupului său fundamental . Mai precis, dacă există un ptospațiu , atunci maparea care induce un izomorfism al grupurilor fundamentale dă un homomorfism non-trivial $[M]$ $\pi _{1}(M)$ $N$ $K(\pi _{1}(M),1)$ $M\la N$

H_{n}(M)\la H_{n}(N).

Aici clasa fundamentală este luată în omologie cu coeficienții întregi dacă varietatea este orientabilă , iar coeficienții modulo 2 în caz contrar.

Exemple

Toate suprafețele închise (adică 2-variete) sunt esențiale, cu excepția celei 2-sfere S 2 .
Spațiul proiectiv real este esențial deoarece includerea ${\mathbb {RP}}^{n}$ $\mathbb {RP} ^{n}\la \mathbb {RP} ^{\infty )$

este injectiv în omologie şi

\mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)

este spațiul K(π,1) al unui grup ciclic finit de ordinul 2.

Toate varietățile asferice compacte sunt esențiale (deoarece asfericitatea implică faptul că varietatea este deja un spațiu K(G,1) ).
- În special, toate varietățile hiperbolice compacte sunt esențiale.
Toate spațiile lentilelor sunt esențiale.

Proprietăți

Suma conectată a unei varietăți esențiale cu orice varietate închisă este esențială.
Produsul direct al soiurilor esențiale este esențial.
Orice varietate care poate fi mapată de la un grad diferit de zero la unul esențial este, de asemenea, esențială.
Pentru varietățile esențiale, inegalitatea sistolice este valabilă .
- Această proprietate este motivul principal pentru introducerea acestei definiții.

Note

↑ Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.