Principiul incertitudinii

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 octombrie 2020; verificarea necesită 21 de modificări .

Principiul incertitudinii Heisenberg în mecanica cuantică este o considerație fundamentală (relația de incertitudine) care stabilește limita pentru precizia determinării simultane a unei perechi de observabile cuantice care caracterizează un sistem descris de operatori care nu fac navetă (de exemplu, poziție și impuls, curent și tensiune). , câmpuri electrice și magnetice). Mai accesibil, sună așa: cu cât o caracteristică a unei particule este măsurată mai precis, cu atât a doua poate fi măsurată mai puțin precis. Relația de incertitudine [* 1] stabilește o limită inferioară pentru produsul abaterilor standard ale unei perechi de observabile cuantice. Principiul incertitudinii, descoperit de Werner Heisenberg în 1927 , este una dintre pietrele de temelie ale mecanicii cuantice fizice [1] [2] . Este o consecință a principiului dualității undă-particulă [3] [4] .

Prezentare generală

Relațiile de incertitudine Heisenberg sunt limita teoretică a acurateței măsurătorilor simultane a două observabile necommutabile . Ele sunt valabile atât pentru măsurătorile ideale , numite uneori măsurători von Neumann , cât și pentru măsurătorile neideale [* 2] .

Conform principiului incertitudinii, poziția și viteza (impulsul) unei particule nu pot fi măsurate cu precizie în același timp [* 3] . Principiul incertitudinii, deja în forma propusă inițial de Heisenberg, este aplicabil și în cazul în care nu se realizează niciuna dintre cele două situații extreme (un moment complet definit și o coordonată spațială complet nedefinită sau un impuls complet nedefinit și o coordonată complet definită) .

Exemplu: o particulă cu o anumită valoare energetică, situată într-o cutie cu pereți perfect reflectorizați ; nu se caracterizează nici printr-o valoare definită a impulsului (dată fiind direcția sa! [* 4] ), nici prin vreo „poziție” sau coordonată spațială definită (funcția de undă a particulei este delocalizată în întregul spațiu al cutiei, adică coordonatele nu au o semnificație definită, particulele de localizare nu sunt mai precise decât dimensiunile cutiei).

Relațiile de incertitudine nu limitează acuratețea unei singure măsurări a oricărei mărimi (pentru mărimile multidimensionale, în cazul general, aici se înțelege doar o singură componentă). Dacă operatorul său comută cu el însuși în diferite momente de timp , atunci precizia măsurătorilor multiple (sau continue) a unei mărimi nu este limitată. De exemplu , relația de incertitudine pentru o particulă liberă nu împiedică măsurarea precisă a impulsului acesteia, dar nu permite măsurarea precisă a coordonatei sale (această limitare se numește limita cuantică standard pentru coordonate).

Relația de incertitudine în mecanica cuantică în sens matematic este o consecință directă a unei anumite proprietăți a transformării Fourier [* 5] .

Există o analogie cantitativă precisă între relațiile de incertitudine Heisenberg și proprietățile undelor sau ale semnalelor . Luați în considerare un semnal care variază în timp, cum ar fi o undă sonoră . Nu are sens să vorbim despre spectrul de frecvență al unui semnal în orice moment. Pentru a determina cu precizie frecvența, este necesar să se observe semnalul pentru o perioadă de timp, pierzându-se astfel acuratețea temporizării. Cu alte cuvinte, sunetul nu poate avea simultan atât valoarea exactă a timpului său de fixare, așa cum o are un impuls foarte scurt, cât și valoarea exactă a frecvenței, așa cum este cazul unui continuu (și, în principiu, infinit de lung) pur. ton (sinusoid pur). Poziția în timp și frecvența undei sunt matematic complet analoge cu coordonatele și impulsul mecanic cuantic al particulei. Ceea ce nu este deloc surprinzător, dacă ne amintim că acesta este impulsul în mecanica cuantică - aceasta este frecvența spațială de-a lungul coordonatei corespunzătoare. $p_{x}=\hbar k_{x},$

În viața de zi cu zi, atunci când observăm obiecte macroscopice sau microparticule care se deplasează în regiuni macroscopice ale spațiului, de obicei nu observăm incertitudine cuantică deoarece valoarea este extrem de mică, astfel că efectele rezultate din relațiile de incertitudine sunt atât de nesemnificative încât nu sunt surprinse de instrumentele de măsură sau simțurile [5] . $\hbar$

Definiție

Dacă există mai multe (multe) copii identice ale sistemului într-o stare dată, atunci valorile măsurate ale poziției și impulsului vor respecta o anumită distribuție a probabilității - acesta este un postulat fundamental al mecanicii cuantice. Măsurând valoarea deviației standard a poziției și abaterii standard a impulsului, constatăm că $\Delta x$ $\Delta p$

\Delta x\Delta p\geqslant \hbar

unde ħ este constanta Planck redusă .

Rețineți că această inegalitate oferă mai multe posibilități - în fizica non-relatistă, o stare poate fi astfel încât să poată fi măsurată cu o precizie arbitrar de mare, dar atunci va fi cunoscută doar aproximativ; sau, dimpotrivă, poate fi determinat cu o precizie arbitrar de mare, în timp ce nu. În toate celelalte state, și , și pot fi măsurate cu o precizie „rezonabilă” (dar nu în mod arbitrar ridicat). $X$ $p$ $p$ $X$ $X$ $p$

În fizica relativistă , într-un cadru de referință în repaus față de un micro-obiect, există o eroare minimă în măsurarea coordonatelor acestuia . Această eroare corespunde incertitudinii de impuls , corespunzătoare energiei minime de prag pentru formarea unei perechi particule-antiparticule, în urma căreia procesul de măsurare în sine își pierde sensul. $\Delta q\sim {\frac {\hbar {mc})$ $\Delta p\sim mc$

În cadrul de referință, în raport cu care micro-obiectul se mișcă cu energie , eroarea minimă în măsurarea coordonatelor sale este . În cazul limitativ al energiilor ultrarelativiste , energia este legată de impuls prin relația și , adică eroarea de măsurare a coordonatei coincide cu lungimea de undă de Broglie a microobiectului [6] . $\epsilon$ $\Delta q\sim {\frac {\hbar c}{\epsilon }}$ $\epsilon=cp$ $\Delta q\sim {\frac {\hbar} {p)}$

Când egalitatea este atinsă

Egalitatea în relația de incertitudine se realizează dacă și numai dacă forma reprezentării vectorului de stare al sistemului în reprezentarea în coordonate coincide cu forma reprezentării acestuia în reprezentarea impulsului (nu se modifică cu transformata Fourier) [7] .

Variante și exemple

Principiul incertitudinii generalizate

Principiul incertitudinii nu se aplică numai poziției și impulsului (cum a fost propus pentru prima dată de Heisenberg). În forma sa generală, se aplică fiecărei perechi de variabile conjugate . În general, și spre deosebire de cazul poziției și impulsului discutat mai sus, limita inferioară a produsului „incertitudinilor” a două variabile conjugate depinde de starea sistemului. Principiul incertitudinii devine apoi o teoremă în teoria operatorilor, care va fi prezentată mai jos.

Teorema . Pentru orice operatori auto-adjuncți : și , și orice element din , astfel încât și ambele sunt definite (adică, în special și sunt, de asemenea, definite), avem: $A\coloană H\la H$ $B\coloană H\la H$ $X$ $H$ $ABx$ $BAx$ $Topor$ $bx$

\langle x|AB|x\rangle \langle x|BA|x\rangle =\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle \right |\left|\langle Bx|Bx\rangle \right|=\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}

Aceasta este o consecință directă a inegalității Cauci-Bunyakovsky .

Prin urmare, următoarea formă generală a principiului incertitudinii , derivată pentru prima dată în 1930 de Howard Percy Robertson și (independent) Erwin Schrödinger , este adevărată :

{\frac {1}{4}}|\langle x|AB-BA|x\rangle |^{2}\leqslant \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.

Această inegalitate se numește relația Robertson-Schrödinger .

Operatorul se numește comutator și și se notează ca . Este definit pentru cei pentru care sunt definite ambele și . $AB-BA$ $A$ $B$ $[A,B]$ $X$ $ABx$ $BAx$

Din relația Robertson-Schrödinger urmează imediat relația de incertitudine Heisenberg :

Să presupunem și sunt două mărimi fizice care sunt asociate cu operatori autoadjuncți. Dacă și sunt definite, atunci: $A$ $B$ $AB/psi$ $BA/psi$

\Delta _{{\psi }}A\,\Delta _{{\psi }}B\geqslant {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[A,{B}\ dreapta]\dreapta\rangle _{\psi }\dreapta|

Unde:

\left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X|\psi \right\rangle

este valoarea medie a operatorului de cantitate în starea sistemului și $X$ $\psi$

\Delta _{{\psi }}X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}

este operatorul abaterii standard a unei marimi in starea sistemului. $X$ $\psi$

Definițiile de mai sus ale mediei și abaterii standard sunt definite în mod formal numai în termeni de teoria operatorilor. Afirmația devine totuși mai semnificativă, odată ce observăm că acestea sunt de fapt media și abaterea standard a distribuției măsurate a valorilor. Vezi mecanica statistică cuantică .

Același lucru se poate face nu numai pentru o pereche de operatori conjugați (de exemplu, coordonate și impuls, sau durată și energie ), ci în general pentru orice pereche de operatori hermitieni . Există o relație de incertitudine între intensitatea câmpului și numărul de particule, ceea ce duce la fenomenul particulelor virtuale .

De asemenea, este posibil să existe doi operatori auto-adjuncți care nu fac navetă și , care au același vector propriu . În acest caz, este o stare pură care este măsurabilă simultan pentru și . $A$ $B$ $\psi$ $\psi$ $A$ $B$

Variabile generale observabile care sunt supuse principiului incertitudinii

Rezultatele matematice anterioare arată cum se găsesc relațiile de incertitudine dintre variabilele fizice, și anume, se determină valorile perechilor de variabile și , al căror comutator are anumite proprietăți analitice. $A$ $B$

Cea mai cunoscută relație de incertitudine este între poziția și impulsul unei particule în spațiu:

\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geqslant {\frac {\hbar }{2))

Din principiul incertitudinii dintre impuls și coordonată rezultă că, cu cât distanțele studiate sunt mai mici, cu atât energia particulelor elementare este mai mare. În regiunea ultrarelativistă ( ) energia este proporțională cu impulsul : iar relația de incertitudine pentru energie și coordonată ia forma , astfel încât unde este exprimat în GeV și în cm . Acest raport determină energia particulelor elementare necesară pentru a atinge distanțele mici date dintre ele. Pentru a aborda particulele elementare la distanțe de cm sau mai mici, este necesar să le conferim o energie mai mare decât GeV [8] . $p\gg Mc$ $E$ $p$ $E=cp$ $\Delta E\Delta x\geqslant c{\frac {\hbar }{2)}$ $\Delta E\geqslant {\frac {10^{{-14}}}{\Delta x}}$ $\Delta E$ $\Delta x$ $10^{{-14}}$ $unu$

relația de incertitudine dintre două componente ortogonale ale operatorului momentului unghiular total al unei particule:

\Delta J_{i}\Delta J_{j}\geqslant {\frac {\hbar }{2))\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|

unde sunt diferite și denotă momentul unghiular de-a lungul axei .

eu,

j,

k

J_{i}

x_{i}

Următoarea relație de incertitudine dintre energie și timp este adesea prezentată în manualele de fizică, deși interpretarea ei necesită atenție, deoarece nu există niciun operator care să reprezinte timpul:

\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}

Acest raport poate fi înțeles într-unul din trei moduri posibile [9] :

$\Delta E$ este incertitudinea energiei stării micro-obiectului, care se află în această stare pentru timp . $\Delta t$
$\Delta E$ este incertitudinea energiei micro-obiectului într-un proces cu durată . $\Delta t$
$\Delta E$ - acuratețea maximă a determinării energiei unui sistem cuantic, realizabilă printr-un proces de măsurare care durează în timp . $\Delta t$

Nu există un consens cu privire la derivabilitatea acestei relații de la celelalte axiome ale mecanicii cuantice [10] .

Relația de incertitudine între numărul de fotoni și faza undei. Luați în considerare radiația electromagnetică monocromatică într-un anumit volum. Din punct de vedere corpuscular, este o colecție de fotoni cu energia fiecărui foton . Din punct de vedere al valului, este un val clasic cu faza . Mărimile corpusculare și de undă sunt legate prin relația de incertitudine: $N$ $\hbar \omega$ $\Phi =\omega t$ $N$ $\Phi$

\Delta N\Delta \Phi \geqslant 1

Această relație decurge din relația de incertitudine pentru energie și timp. Este nevoie de timp pentru a măsura cu precizie energia oricărui obiect cuantic . Incertitudinea energiei colectivului de fotoni , unde este incertitudinea numărului de fotoni. Este nevoie de timp pentru a o măsura . În acest timp, schimbarea fazei valului . Se obține [11] . $\Delta E$ $\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\Delta E)}$ $\Delta E=\hbar \omega \Delta N$ $\Delta N$ $\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\hbar \omega \Delta N)}$ $\Delta \Phi =\omega \Delta t$ $\Delta \Phi \geqslant {\frac {1}{\Delta N}}$

Relația de incertitudine dintre raza gravitațională și coordonata radială a particulei: , $\Delta r_{g}\Delta r\geqslant \ell _{P}^{2)$

unde este raza gravitațională , este coordonata radială , este lungimea Planck , care este o altă formă a relației de incertitudine Heisenberg între impuls și coordonată aplicată la scara Planck . [12] Într-adevăr, această relație poate fi scrisă astfel: , unde este constanta gravitațională , este masa corpului, este viteza luminii , este constanta Dirac . Reducând aceleași constante la stânga și la dreapta, ajungem la relația de incertitudine Heisenberg . Relația de incertitudine stabilită prezice apariția găurilor negre virtuale și a găurilor de vierme ( spumă cuantică ) pe scara Planck. $r_{g}$ $r$ $\ell _{{P}}$ $\Delta (2Gm/c^{2})\Delta r\geqslant G\hbar /c^{3}$ $G$ $m$ $c$ $\hbar$ $\Delta (mc)\Delta r\geqslant \hbar /2$

Relația de incertitudine disipare - timp. Conectează rata producției de entropie într-un sistem stocastic neechilibrat cu timpul mediu de finalizare a procesului de evoluție al acestui sistem : [13] $\langle {\dot {S}}_{e}\rangle$ ${\mathfrak {T}}$

\langle {\dot {S}}_{e}\rangle {\mathfrak {T}}\geq k_{B}

A fost verificat experimental. [paisprezece]

Trebuie subliniat faptul că pentru a îndeplini condițiile teoremei este necesar ca ambii operatori autoadjuncți să fie definiți pe același set de funcții. Un exemplu de pereche de operatori pentru care această condiție este încălcată este operatorul de proiecție a momentului unghiular și operatorul de unghi azimutal . Primul dintre ele este autoadjunct numai la mulțimea de funcții -periodice, în timp ce operatorul deduce în mod evident din această mulțime. Pentru a rezolva problema care a apărut, puteți lua în loc de , ceea ce va duce la următoarea formă a principiului incertitudinii [** 1] : $L_{z}$ $\varphi$ $2\pi$ $\varphi$ $\varphi$ $\sin\varphi$

\langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \sin \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}\ langle (\cos \varphi )^{2}\rangle

. Cu toate acestea, în condiția de periodicitate, nu este esențial, iar principiul incertitudinii ia forma obișnuită:

\langle (\varphi )^{2}\rangle \ll \pi ^{2}

\langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}

Notă

Pentru un oscilator tridimensional, principiul incertitudinii ia forma:

\langle \Delta L_{z}\rangle {\frac {\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2)){\pi ^{2}}})}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}

iar pentru operatorul numărului de particule și unghiului forma: $n$ $\varphi$

{\frac {[(\langle \Delta n\rangle )^{2}+(\langle n\rangle +{\frac {1}{2)))^{2}]^{{\frac {1} {2}}}\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2}}{\pi ^{2}}})}} \geqslant {\frac {\hbar }{2))

(Vezi A. I. Baz, Ya. B. Zeldovich, A. M. Perelomov. Scattering, reactions, and decays in nonrelativist quantum mechanics. Ed. a 2-a, M., Nauka, 1971, pp. 58-59. )

Derivarea în teoria estimării cuantice

Principiul incertitudinii coordonate-impuls este derivat alternativ ca estimare de maximă probabilitate în teoria estimării cuantice [15] .

Principiul incertitudinii timp-energie este derivat alternativ ca o expresie a inegalității cuantice Cramer-Rao în teoria estimării cuantice , în cazul în care se măsoară poziția unei particule [16] .

Interpretări

Lui Albert Einstein nu i-a plăcut foarte mult principiul incertitudinii și i-a provocat pe Niels Bohr și Werner Heisenberg cu un celebru experiment de gândire (Vezi discuția Bohr-Einstein ): umple o cutie cu material radioactiv care emite radiații aleatoriu. Cutia are un obturator deschis, care imediat după umplere este închis de un ceas la un anumit moment în timp, permițând o cantitate mică de radiație să scape. Astfel, ora este deja cunoscută cu exactitate. Încă vrem să măsurăm cu precizie variabila conjugată de energie. Einstein a sugerat să faceți acest lucru cântărind cutia înainte și după. Echivalența dintre masă și energie conform relativității speciale vă va permite să determinați cu exactitate câtă energie rămâne în cutie. Bohr a obiectat astfel: dacă energia pleacă, atunci bricheta se va mișca puțin pe cântar. Acest lucru va schimba poziția ceasului. Astfel, ceasurile se abat de la cadrul nostru fix de referință și, conform relativității speciale, măsurarea timpului lor va diferi de a noastră, ceea ce duce la o valoare de eroare inevitabilă. O analiză detaliată arată că inexactitatea este dată corect de relația Heisenberg.

În interpretarea de la Copenhaga , pe scară largă, dar nu universal acceptată , a mecanicii cuantice, principiul incertitudinii este acceptat la un nivel elementar. Universul fizic nu există într-o formă deterministă , ci mai degrabă ca un set de probabilități sau posibilități. De exemplu, modelul (distribuția probabilității) produs de milioane de fotoni care difractează printr-o fantă poate fi calculat folosind mecanica cuantică, dar calea exactă a fiecărui foton nu poate fi prezisă prin nicio metodă cunoscută. Interpretarea de la Copenhaga susține că acest lucru nu poate fi prezis prin nicio metodă.

Tocmai această interpretare a pus-o la îndoială Einstein când i-a scris lui Max Born : „Dumnezeu nu joacă zaruri” [** 2] . Niels Bohr , care a fost unul dintre autorii Interpretarii de la Copenhaga, a răspuns: „Einstein, nu-i spune lui Dumnezeu ce să facă” [** 3] .

Einstein era convins că această interpretare era greșită. Raționamentul său s-a bazat pe faptul că toate distribuțiile de probabilitate deja cunoscute erau rezultatul unor evenimente deterministe. Distribuția unei aruncări de monede sau a unui zar de rulare poate fi descrisă printr-o distribuție de probabilitate (50% capete, 50% cozi). Dar asta nu înseamnă că mișcările lor fizice sunt imprevizibile. Mecanicii obișnuiți pot calcula exact cum va ateriza fiecare monedă dacă forțele care acționează asupra ei sunt cunoscute și capul/cozile sunt încă distribuite aleatoriu (cu forțe inițiale aleatoare).

Einstein a presupus că există variabile ascunse în mecanica cuantică care stau la baza probabilităților observabile.

Nici Einstein, nici oricine altcineva de atunci nu a fost capabil să construiască o teorie satisfăcătoare a variabilelor ascunse, iar inegalitatea lui Bell ilustrează câteva căi foarte spinoase în încercarea de a face acest lucru. Deși comportamentul unei particule individuale este aleatoriu, este, de asemenea, corelat cu comportamentul altor particule. Prin urmare, dacă principiul incertitudinii este rezultatul unui proces determinist, atunci se dovedește că particulele aflate la distanțe mari trebuie să transmită imediat informații între ele pentru a garanta corelații în comportamentul lor.

Principiul incertitudinii în literatura populară

Principiul incertitudinii este adesea greșit este inteles sau raportat in presa populara. O denaturare comună este aceea că observarea unui eveniment schimbă evenimentul în sine. . În general, acest lucru nu are nimic de-a face cu principiul incertitudinii. Aproape orice operator liniar schimbă vectorul asupra căruia acționează (adică aproape orice observație își schimbă starea), dar pentru operatorii comutativi nu există restricții cu privire la posibila răspândire a valorilor ( vezi mai sus ). De exemplu, proiecțiile impulsului pe axe și pot fi măsurate împreună cât de precis se dorește, deși fiecare măsurătoare schimbă starea sistemului. În plus, principiul incertitudinii se referă la măsurarea paralelă a mărimilor pentru mai multe sisteme care se află în aceeași stare, și nu despre interacțiuni secvențiale cu același sistem. $X$ $y$

Alte analogii (de asemenea, înșelătoare) cu efecte macroscopice au fost propuse pentru a explica principiul incertitudinii: una dintre ele presupune apăsarea unei sămânțe de pepene verde cu degetul. Efectul este cunoscut - este imposibil de prezis cât de repede sau unde va dispărea sămânța. Acest rezultat aleatoriu se bazează în întregime pe aleatorie, ceea ce poate fi explicat în termeni clasici simpli.

În unele povești științifico-fantastice , dispozitivul pentru depășirea principiului incertitudinii se numește compensator Heisenberg, cel mai faimos folosit pe nava spațială Enterprise din serialul de televiziune științifico-fantastică Star Trek într-un teleporter. Cu toate acestea, nu se știe ce înseamnă „depășirea principiului incertitudinii”. La una dintre conferințele de presă, producătorul de seriale Gene Roddenberry a fost întrebat „Cum funcționează compensatorul Heisenberg?”, la care a răspuns „Mulțumesc, bine!”.

În Dune a lui Frank Herbert: „Previziunea”, și-a dat seama el, „este ca un fascicul de lumină dincolo de care nu se vede nimic, ea determină măsura exactă... și posibil eroarea”[ specificați ] . Se pare că ceva asemănător principiului de incertitudine al lui Heisenberg stă în abilitățile sale vizionare: pentru a vedea, trebuie să cheltuiești energie și, cheltuind energie, schimbi ceea ce vezi.

Umor științific

Natura neobișnuită a principiului de incertitudine al lui Heisenberg și numele său captivant l-au făcut sursa unui număr de glume. Se susține că un graffiti popular de pe pereții departamentului de fizică al campusurilor universitare este: „E posibil ca Heisenberg să fi fost aici”.

Într-o altă glumă despre principiul incertitudinii, un fizician cuantic este oprit pe o autostradă de un polițist și întreabă: „Știți cât de repede mergeați, domnule?” La care fizicianul răspunde: „Nu, dar știu exact unde sunt!”.

Vezi și

Note

↑ Fiecare pereche de mărimi conjugate are propria relație de incertitudine, deși are aceeași formă ; prin urmare, acest termen este adesea folosit la plural ( relații de incertitudine ), atât în cazul în care este vorba de relații de incertitudine în general, cât și în cazurile în care mai multe rapoarte specifice sunt menite pentru cantități diferite, și nu pentru o singură pereche. $\Delta A\cdot \Delta B\geqslant \hbar$
↑ Există, totuși, modalități de a ocoli parțial aceste limitări asociate cu măsurători slabe .
↑ În principiu, acest lucru se aplică nu numai particulelor, ci și oricăror obiecte dinamice, de exemplu, un câmp pentru care variabilele de câmp servesc ca un analog al coordonatelor particulelor, iar impulsurile canonice asociate cu o modificare a câmpului cu timpul servesc ca un analog al componentelor impulsului particulelor.
↑ În exemplul cu o particulă într-o cutie, modulul de impuls este, totuși, definit, dar direcția sa nu este definită.
↑ Cel mai simplu mod de a ilustra această proprietate este următorul. Să fie o funcție f ( x ) și imaginea ei Fourier (spectrul) F ( k ) - adică, este evident că dacă „comprimăm funcția f ” cu x de A ori, adică vom merge la funcția f A ( x ) = f ( Ax ) , atunci spectrul acesteia va fi extins de același număr de ori: F A ( k ) = const F ( k / A ) , deoarece frecvența fiecărei armonici spectrale a acestei expansiuni va evident că trebuie înmulțit cu A . Această ilustrație, strict vorbind, desigur, este mai degrabă privată, dar dezvăluie semnificația fizică a proprietății ilustrate: atunci când comprimăm un semnal, frecvențele acestuia cresc cu același factor. Nu este mult mai dificil să se obțină o concluzie similară pentru cazul pachetelor de unde gaussiene prin calcul direct , arătând că jumătatea lățimii unui pachet de undă gauss este invers proporțională cu jumătatea lățimii spectrului său (care are și o lățime gaussiană). formă). Pot fi demonstrate și teoreme mai generale, reducându-se exact la relația de incertitudine Heisenberg, doar fără ħ pe partea dreaptă (sau, cu alte cuvinte, repetând exact relația de incertitudine Heisenberg pentru ħ = 1 ). $f(x)=\int F(k)e^{{ikx}}dk.$ $e^{{ikx}}$

Literatură

Surse

↑ A. S. Davydov Mecanica cuantică, ed. a 2-a, - M. : Nauka, 1973.
↑ Mai precis: „Teoria dă multe, dar nu ne apropie de misterele Bătrânului. Oricum, sunt convins că [el] nu joacă zaruri " Scrisoare către Max Born, 12 decembrie 1926, op. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
↑ Chad Meister Introducerea filozofiei religiei . Consultat la 9 mai 2011. Arhivat din original pe 16 mai 2011. (nedefinit)

Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Fizica nucleară. - M. : Nauka, 1972. - 670 p.
Yavorsky BM Manual de fizică pentru ingineri și studenți. - M . : Oniks, 2007. - 1056 p. - ISBN 978-5-488-01248-6 .
Ponomarev L.I. De cealaltă parte a cuantumului. - M . : Gardă tânără, 1971. - 304 p.

articole de jurnal

Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. — Zeitschrift fur Physik. - 1927. - Vol. 43. - P. 172-198. (Traducere în engleză în carte:: Wheeler JA, Zurek H. Quantum Theory and Measurement. - Princeton Univ. Press. - 1983. - P. 62-84).
Mandelstam L. I. , Tamm I. E. Relația de incertitudine energie-timp în mecanica cuantică nonrelativista . - Izv. Acad. Științe ale URSS (ser. fizică). - 1945. - T. 9. - S. 122-128.
Folland G., Sitaram A. Principiul incertitudinii: un studiu matematic. — Journal of Fourier Analysis and Applications. - 1997. - P. 207-238.
Sukhanov AD O nouă abordare a relației de incertitudine energie-timp. — Fizica particulelor elementare și a nucleului atomic. - 2001. - Volumul 32. Numărul. 5. - S. 1177.

Despre relațiile de incertitudine Schrödinger

Schrödinger E. Despre principiul incertitudinii Heisenberg // Lucrări selectate despre mecanica cuantică. - M .: Nauka, 1976. - S. 210-217.
Dodonov VV, Man'ko VI Generalizări ale relaţiilor de incertitudine în mecanica cuantică. - Procesele FIAN al URSS. - 1987. - Volumul 183. - S. 5-70.
Sukhanov AD Schrödinger relații de incertitudine și trăsături fizice ale stărilor corelate-coerente. — Fizică teoretică și matematică . - 2002. - Volumul 132, Nr. 3. - S. 449-468.
Sukhanov AD Relația de incertitudine Schrödinger pentru un oscilator cuantic într-un termostat. — Fizică teoretică și matematică . - 2006. - Volumul 148, Nr. 2. - S. 295-308.
Tarasov VE Relație de incertitudine pentru sisteme cuantice non-Hamiltoniene. (link inaccesibil) - Journal of Mathematical Physics. - 2013. - Vol. 54.-Nu. 1. - 012112.
Tarasov VE Derivarea relației de incertitudine pentru sisteme hamiltoniene cuantice. — Revista științifică de la Moscova. - 2011, nr 10. - C. 3-6.

În plus

↑ Kline B. În căutare. Fizicienii și teoria cuantică. - M., Atomizdat, 1971. - Tiraj 58.000 exemplare. - Cu. 192-216
↑ Heisenberg V. Dezvoltarea interpretării teoriei cuantice // Niels Bohr și dezvoltarea fizicii. - M., IL, 1958. - p. 23-45
↑ Shirokov, 1972 , p. douăzeci.
↑ Gott V.S. Întrebări filozofice ale fizicii moderne. - M .: Liceu, 1972. - S. 63.
↑ Yavorsky B. M., Pinsky A. A. Fundamentals of Physics: Textbook. În 2 vol. T. 1. Mecanica. Fizica moleculară. Electrodinamică / Ed. Yu. I. Dika. - Ed. a 5-a, stereo. - M.: FIZMATLIT, 2003. - ISBN 5-9221-0382-2 . - S. 136-139.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecanica cuantică. - M., Nauka, 1972. - p. 264-265
↑ Medvedev B.V. Începuturile fizicii teoretice. Mecanica, teoria câmpului, elemente de mecanică cuantică. — M.: FIZMATLIT, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - S. 453.
↑ Shirokov, 1972 , p. 262.
↑ Yavorsky, 2007 , p. 744.
↑ Yu . I. Vorontsov Relația de incertitudine energie - timp de măsurare
↑ Tarasov L. V. Relații de incertitudine // Fundamentals of Quantum Mechanics. - M: Liceu, 1978. - S. 42.
↑ Philosophy Documentation Center, Western University, Canada, 2017, pp.25-30 . Preluat la 29 noiembrie 2020. Arhivat din original la 1 iulie 2019. (nedefinit)
↑ Gianmaria Falasco, Massimiliano Esposito Relația de incertitudine disipare-timp // Fiz. Rev. Lett. 125, 120604 (2020)
↑ L.-L. Yan, J.-W. Zhang, M.-R. Yun, J.-C. Li, G.-Y. Ding, J.-F. Wei, J.-T. Bu, B. Wang, L. Chen, S.-L. Su, F. Zhou, Y. Jia, E.-J. Liang și M. Feng Verificarea experimentală a relației de incertitudine disipare-timp Arhivat 8 martie 2022 la Wayback Machine // Phys. Rev. Lett. 128, 050603 — Publicat 4 februarie 2022
↑ Helstrom K. Teoria estimării cuantice. Estimarea probabilității maxime. Principiul incertitudinii // Teoria cuantică a testării și estimării ipotezelor - M.: Mir, 1979. - P. 272-277.
↑ Helstrom K. Teoria estimării cuantice. Inegalitatea cuantică Cramer-Rao. Parametrul de deplasare și relația de incertitudine timp-energie // Teoria cuantică a testării și estimării ipotezelor - M.: Mir, 1979. - P. 301-302.

Link -uri

Enciclopedia Stanford de Filosofie
aip.org: Mecanica cuantică 1925-1927 - Principiul incertitudinii
Lumea fizicii de Eric Weisstein - Principiul incertitudinii
Ecuația Schrödinger din principiul incertitudinii exacte
John Baz despre relația de incertitudine timp-energie