Spinor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Un spinor ( eng. spin - rotate) este o generalizare specială a conceptului de vector , folosită pentru a descrie mai bine grupul de rotații ale unui spațiu euclidian sau pseudoeuclidian .

Esența descrierii spinor a spațiului V este construcția unui spațiu liniar complex auxiliar S , astfel încât V să fie încorporat în (în produsul tensor al spațiului S de către complexul conjugat la sine). $Uneori S^{*}$

Elementele spațiului S și se numesc „spinori”; adesea (deși nu neapărat) le lipsește orice semnificație geometrică directă.

Cu toate acestea, pe spinori este posibil să se definească „aproape” acțiunea unui grup de rotații și anume: o rotație acționează asupra unui spinor până la un factor complex nedefinit egal în modulo 1 (în cazuri simple, până la ±1). pot fi reprezentați ca vectori complecși obișnuiți, dar într-un spațiu cu o metrică antisimetrică, de exemplu:

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Indicii spinorilor pot fi punctați și nepunctați, deoarece pentru unii indici spinorul este transformat ca un conjugat complex.

Dacă spațiul inițial V a fost considerat peste câmpul numerelor reale , atunci vectorii din V vor fi descriși în S prin matrici hermitiene . $\mathbb {R}$

O justificare riguroasă din punct de vedere matematic pentru o astfel de construcție se face cu ajutorul algebrei Clifford construită din spațiul V studiat .

Spinorii au fost considerați pentru prima dată în matematică de E. Cartan în 1913 . Au fost redescoperite în 1929 de B. van der Waerden în legătură cu cercetările în mecanica cuantică .

Definiție

Un spinor de primul rang este un vector într-un spațiu complex bidimensional, care se transformă conform formulelor: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

cu determinantul de transformare egal cu unu:

{\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1

Spinorul este, de asemenea, notat ca . $A$ $a_{k},(k=1,2)$

Coeficienții sunt numere complexe. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

Pentru fiecare spinor, există un cospinor în spațiul complex bidimensional, care este transformat prin formulele: $b=(b_{\punct {1)),b_{\punct {2))}$

b_{\dot {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\dot {2}}

b_{\dot {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\dot {2}}

unde liniuțele marchează cantități complexe conjugate. Indicii cospinori sunt marcați cu puncte. [unu]

Spinorii de rang superior sunt cantități care sunt transformate ca produse ale spinorilor de primul rang. De exemplu, un spinor de rangul doi se transformă ca produs de spinori de rangul întâi . Un spinor mixt de rangul doi este transformat ca produs al spinorilor de rangul întâi . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\punct {k}}l}({\punct {k}},l=1,2)$ $a_{\punct {k}}b_{l}$

În algebra spinor, ca și în algebra tensorală, regula de însumare a indicilor repeți mai sus și mai jos este valabilă și există un spinor metric de rangul doi și este definită după cum urmează: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e_{{\dot {l}}{\dot {k}}}={\begin{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e^{{\dot {l}}{\dot {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Proprietăți

Coordonatele spinorilor și cospinorii sunt legate prin următoarele relații:

a^{1}=a_{2}

. .

b^{\punct {1}}=b_{\punct {2}}

a^{2}=-a_{1}

. .

b^{\punct {2}}=-b_{\punct {1}}

Valoarea absolută a oricărui spinor de rang impar este zero:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

Spinorii sunt utilizați pentru a introduce operatori diferențiați care sunt invarianți în transformările binare.

Componentele unui gradient cu patru dimensiuni corespund operatorilor:

\partial _{1}^{1}=\partial _{{\dot {2}}1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial x^{2))}

-\partial _{2}^{\dot {2}}=\partial _{{\dot {1}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}-i{ \frac {\partial }{\partial x^{2}}}

-\partial _{1}^{\dot {2}}=\partial _({\dot {1}}{\dot {1}}}={\frac {\partial }{\partial x^{3 ))}-{\frac {\partial }{\partial x^{4))}

-\partial _{2}^{\dot {1}}=\partial _{{\dot {2}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}+{\ frac {\partial }{\partial x^{4))}

[1] .

Spațiu tridimensional

Pentru a reprezenta un spațiu tridimensional ca S este necesar să se ia un spațiu complex bidimensional $S={\mathbb {C} }^{2}.$

Vectorii spațiului tridimensional vor corespunde matricilor cu urmă zero .

Spinii spațiului euclidian tridimensional au o algebră apropiată de algebrele produselor interioare și vectoriale . Această algebră admite o descriere convenabilă în termeni de cuaternioni hamiltonieni . Și anume, cu fiecare vector x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) din numere reale (sau complexe ), puteți asocia o matrice complexă :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left( {\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right),

unde sunt matricele Pauli (sunt asociate cu vectorii de bază e 1 , e 2 , e 3 ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Matricele X de această formă, asociate cu vectorii x , au următoarele proprietăți care le raportează intern la geometria spațiului tridimensional:

det X = −(lungime x ) 2 .
X 2 = (lungimea x ) 2 I , unde I este matricea de identitate.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ unde Z este matricea asociată cu produsul încrucișat z = x × y .
Dacă u este un vector unitar, atunci UXU este matricea asociată vectorului obținut din x prin reflexie în planul ortogonal cu u .
Conform algebrei liniare , orice rotație în spațiul tridimensional este reprezentabilă ca două reflexii. (În mod similar, orice transformare ortogonală inversă este fie o reflexie, fie un produs a trei reflexii (în general un număr impar).) Astfel, dacă R este o rotație reprezentabilă ca două reflexii succesive în plane perpendiculare pe vectorii unitari u 1 și u 2 , atunci matricea U 2 U 1 XU 1 U 2 reprezintă rotaţia R a vectorului x .

Cu un mod eficient de a reprezenta întreaga geometrie a rotațiilor spațiului tridimensional ca un set de matrici complexe 2×2, este firesc să ne întrebăm ce rol, dacă este cazul, joacă matricele 2×1. Să numim temporar un vector coloană spinor:

\xi =\left[{\begin{matrice}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrice}}\right],

cu componente complexe ξ 1 şi ξ 2 . Evident, matricele complexe 2×2 acționează în spațiul spinor. Mai mult, produsul a două reflexii (pentru o pereche dată de vectori unitari) definește o matrice 2x2 a cărei acțiune asupra vectorilor euclidieni este o rotație, astfel încât să rotească spinorii. Dar există o proprietate importantă aici - factorizarea rotației nu este unică. Este clar că dacă X → RXR −1 este o reprezentare a unei rotații, atunci înlocuirea lui R cu −R va da aceeași rotație. De fapt, se poate demonstra cu ușurință că aceasta este singura incertitudine care apare. Acțiunea unei operații de rotație asupra unui spinor are întotdeauna două valori.

Spațiul Minkowski

Dacă adăugăm matricea identității (numerotată 0) celor trei matrice Pauli , atunci obținem o reprezentare spinor a spațiului Minkowski M :

X=\sigma _{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

În acest caz, vectori asemănătoare luminii (de lungime zero) vor corespunde matricilor degenerate de forma , unde . $\pm {\bar {\psi }}\otimes \psi$ $\psi \in S$

Corespondența dintre spațiul Minkowski și matricele hermitiene 2×2: M ≈Herm(2) va fi unu-la-unu .

Spinors în fizică

Spinerii nu sunt nicidecum o construcție pur abstractă care să nu se manifeste în niciun fel în raport cu geometria realității. Multe cantități întâlnite în mecanica cuantică sunt spinori (vezi spin , ecuația Dirac ). În considerația relativistă , este folosită reprezentarea spinorului de mai sus a spațiului Minkowski. De exemplu, există o reprezentare spinor destul de simplă a ecuațiilor lui Maxwell .

La viteze mici, se folosesc spinori tridimensionali.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Metoda teoriei grupurilor în mecanica cuantică , M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Formule de bază ale fizicii, ed. D. Menzela, M., IL, 1957

Literatură

Dirac P. Spinors în spațiul Hilbert / Per. din engleza. — M.: Mir, 1978. — 126 p.
Zhelnorovici VA Teoria spinorilor și aplicarea acesteia în fizică și mecanică. — M.: Nauka, 1982. — 272 p.
Zhelnorovici VA Teoria spinorilor și aplicațiile sale. — M.: August-Tipărire, 2001. — 400 p. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. Teoria spinorilor / Per. din franceza — M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinors și spațiu-timp. Volumul 2 / Traducere din engleză. — M.: Mir, 1988. — 584 p.
Rashevsky P. K. Teoria spinorilor. - Ed. al 2-lea. - M .: KomKniga, 2006. - 112 p. — ISBN 5-484-00348-2
Rumer Yu. B. Analiza Spinor. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 p.
Yappa Yu. A. Introducere în teoria spinorilor și aplicațiile sale în fizică: Manual / Ed. V. A. Franke. - Sankt Petersburg. : Universitatea de Stat din Sankt Petersburg, 2004. - 256 p. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Link -uri

[bse.sci-lib.com/article105279.html „Spin Calculus”] în TSB .