Display standard

Harta standard , cunoscută și sub denumirea de harta standard Chirikov și harta Chirikov - Taylor , este o hartă neliniară (conservare a volumului) pentru două variabile canonice (impuls și coordonate). Cartografierea este cunoscută pentru proprietățile sale haotice, care au fost investigate pentru prima dată [1] de Boris Chirikov în 1969 . $(p,\;x)$

Maparea este dată de următoarele ecuații iterative:

{\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n},\\{x}_{n+1}=x_{n }+p_{n+1},\end{matrice}}

unde parametrul controlează aleatoritatea sistemului. $K$

Model rotator

Maparea standard descrie mișcarea unui rotator clasic - o tijă fixă, care nu este afectată de forța gravitațională și care se rotește fără frecare într-un plan în jurul unei axe care trece printr-unul dintre capete. Rotatorul suferă și impacturi de o durată infinit de scurtă, periodice în timp (cu o perioadă de unu), cauzate de o forță externă. Variabile și corespund unghiului de rotație al rotatorului și momentului său unghiular după impactul --lea. Parametrul descrie forța de impact. Funcția Hamilton a rotatorului poate fi scrisă astfel: $x_{n}$ $p_n$ $n$ $K$

H={\frac {p^{2}}{2}}+K\delta _{Per}(t)\cos x,

unde funcția este o funcție periodică cu o perioadă de 1, pe o perioadă coincide cu funcția Dirac δ . Din funcția Hamilton de mai sus se obține elementar maparea standard. $\delta _{Per}(t)$

Proprietăți

Pentru acest caz, maparea este liniară, deci există doar traiectorii periodice și cvasi-periodice. Când maparea devine neliniară, conform teoremei KAM , tori invarianți sunt distruși și straturile stocastice se mișcă, în care dinamica este haotică. Creșterea duce la o creștere a regiunilor de haos pe planul de fază . Datorită periodicității funcției , dinamica sistemului poate fi considerată pe un cilindru [preluare ] sau pe un torus [preluare ]. $K=0$ $K\neq 0$ $K$ $(x,\;p)$ $\sin(x)$ $x\;{\bmod {\;}}(2\pi )$ $(x,\;p)\;{\bmod {\;))(2\pi )$

Punctele de afișare staționare sunt determinate din condiție . Pe intervalul , astfel de puncte sunt și (din cauza simetriei planului de fază al sistemului în timpul inversării față de punctul , punctele staționare și pot fi ignorate). $(x_{n},\;p_{n})=(x_{n+1},\;p_{n+1})$ $x\in [0,\;2\pi ]$ $p\in [0,\;2\pi ]$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$ $(x_{n},\;p_{n})$ $(\pi ,\;\pi )$ $(0,\;\pi )$ $(\pi ,\;\pi )$

Analiza stabilității liniare a mapării se reduce la analiza sistemului de ecuații

\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}} \left[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right],

{\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right] .

Din condiția , se pot determina valorile proprii ale matricei pentru ambele puncte staționare [ și ]: $\det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0$ ${\pălărie {M}}$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$

\lambda _{\pm }^{(0,\;0)}={\frac {2+K\pm {\sqrt {K^{2}+4K))}{2)),

\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}={\frac {2-K\pm {\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}.

Deoarece , aceasta implică inegalitatea . În același timp, inegalitatea este valabilă pentru arbitrare . Astfel, un punct staționar este un punct hiperbolic instabil. Punctul staționar este un punct eliptic stabil la , deoarece atunci . Căci punctul staționar își pierde stabilitatea și devine hiperbolic. $K>0$ $\lambda _{+}^{(0,\;0)}>1$ $\lambda _{-}^{(0,\;0)}<\lambda _{+}^{(0,\;0)}<1$ $K>0$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$ $0\leqslant K<4$ $\mathrm {Re} \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}\right|=1$ $K\geqslant 4$ $(\pi ,\;0)$

Sub valoarea critică a parametrului, (Fig. 1), tori invarianți împart spațiul de fază al sistemului în așa fel încât momentul unghiular să fie mărginit - cu alte cuvinte, difuzia în stratul stocastic nu poate depăși limitele mărginite. de tori invariant. Torul invariant „de aur” se prăbușește atunci când numărul de rotație atinge valoarea , care corespunde valorii critice a parametrului (spațiul de fază al sistemului pentru este prezentat în Fig. 2). În prezent, nu a fost dovedit cu strictețe că , totuși, calculele numerice arată că cel mai probabil este cazul. Până în prezent, există doar dovezi riguroase că la , se observă un regim de haos global, când o mare stocastică cu insule individuale de stabilitate acoperă întreg spațiul fazelor (vezi Fig. 3). Nu mai există tori invarianți care să limiteze evoluția în spațiul fazelor și putem vorbi de difuzie traiectorie într-o mare haotică. $K<K_{c)$ $p$ $p$ $r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2$ $K_{g}=0{,}971\ 635\ldots$ $K=0{,}971\ 635$ $K_{c}=K_{g)$ $K>63/64=0{,}984\;375>K_{c)$

Entropia Kolmogorov-Sinai a mapării standard este bine descrisă de relația pentru valorile parametrului de control [2] $h\aproximativ \ln(K/2)$ $K>4$

Harta standard cuantică

Tranziția la maparea standard cuantică are loc prin înlocuirea variabilelor dinamice cu operatori mecanici cuantici care satisfac relația de comutație , unde este constanta adimensională efectivă a lui Planck . $(p,\;x)$ $({\pălărie {p)),\;{\pălărie {x}))$ $[{\hat {p)],\;{\hat {x}}]=-i\hbar$ $\hbar$

Principala proprietate a unei mapări cuantice în comparație cu cea clasică este așa-numitul fenomen de localizare dinamică , care constă în suprimarea difuziei haotice datorită efectelor cuantice [3] .

Aplicație

Multe sisteme și fenomene fizice sunt reduse la un afișaj standard. Aceasta, în special,

dinamica particulelor în acceleratoare ;
dinamica cometelor în sistemul solar;
ionizarea cu microunde a atomilor Rydberg și autoionizarea stărilor moleculare Rydberg;
magnetotransport electronic într-o diodă tunel rezonantă ;
izolarea particulelor încărcate în capcane magnetice în oglindă .

Modelul Frenkel-Kontorova

Modelul Frenkel-Kontorova ar trebui evidențiat separat ca primul model în care ecuațiile de cartografiere standard au fost scrise analitic. Acest model este folosit pentru a descrie dinamica dislocațiilor, monostraturile pe suprafețele cristalului, undele de densitate de sarcină și frecarea uscată. Modelul în cazul staționar specifică relația dintre pozițiile particulelor care interacționează (de exemplu, atomi) în câmpul unui potențial periodic spațial. Funcția Hamilton a unui lanț unidimensional de atomi care interacționează cu cei mai apropiați vecini ai lor printr-un potențial de interacțiune parabolic și situat în câmpul unui potențial cosinus care descrie o suprafață cristalină are următoarea formă:

H=\sum _{n}\left({\frac {P_{n}^{2}}{2}}+{\frac {(x_{n+1}-x_{n})^ {2}}{2}}-K\cos x_{n}\right),\quad P_{n}={\dot {x}}_{n}.

Iată abaterea atomului de la poziția sa de echilibru. În cazul staționar ( ) aceasta duce la următoarea ecuație $x_{n}$ $P_{n}\equiv 0$

x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n},

care, prin substituție , poate fi redusă la notația obișnuită a mapării standard. $p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n)$

Note

↑ Chirikov BV Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity // Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
↑ Chirikov BV O instabilitate universală a sistemelor oscilatoare multidimensionale // Phys. Reprezentant. 52:263 (1979).
↑ Casati G., Chirikov BV, Izrailov FM, Ford J. Lecture Notes in Physics - Berlin: Springer, 93: 334 (1979).

Literatură

Afișare standard a lui Chirikov la www.scholarpedia.org (engleză) .
Weisstein, Eric W. Harta standard (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Lichtenberg, A.J. și Lieberman, M. A. Regular and Chaotic Dynamics (neopr.) . — Springer, Berlin, 1992. .
Ott, Edward. Haos în sistemele dinamice (neopr.) . - Cambridge University Press New, York, 2002. .
Sprott, Julien Clinton. Analiza haosului și a serii temporale . — Oxford University Press , 2003. .
Chirikov BV „Sisteme cuantice dependente de timp” în „Haos și mecanică cuantică” // Seria de prelegeri Les Houches, vol. 52, pp. 443-545, Eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).