Legea puterii

În statistică , o lege a puterii ( ing.  legea puterii ) este o astfel de relație funcțională între două mărimi, în care o modificare relativă a unei mărimi duce la o modificare relativă proporțională a unei alte mărimi, indiferent de valorile inițiale ale aceste mărimi: dependența unei mărimi de alta este o funcție de putere . De exemplu, luați în considerare dependența ariei unui pătrat de lungimea laturii sale. Dacă lungimea este dublată, suprafața va fi de patru ori. [unu]

Studii de caz

În multe fenomene fizice, biologice și artificiale se observă distribuții care corespund aproximativ unei legi de putere pe diverse scări: de exemplu, dimensiunea craterelor lunare și a erupțiilor solare [2] , tipare de hrănire a diferitelor specii [3] , activitatea de populațiile de neuroni [4] , frecvența utilizării cuvintelor în majoritatea limbilor, prevalența numelor de familie , numărul de specii din cladele de organisme [5] , amploarea accidentelor în sistemele de putere , numărul de acuzații penale per infractor, numărul de erupții vulcanice [6] , estimările umane ale intensității stimulilor [7] [8] și multe alte cantități [9 ] . Distribuțiile empirice pot corespunde unei legi de putere în întregul interval de valori ale acestora sau, de exemplu, în coadă. Atenuarea vibrațiilor sonore urmează o lege a puterii pe benzi largi de frecvență în multe medii complexe. Modelele alometrice pentru relațiile dintre variabilele biologice sunt printre cele mai cunoscute exemple de legi ale puterii din natură.

Proprietăți

Invarianța la scară

Legea puterii este caracterizată de invarianța de scară . Dacă este true , atunci scalarea argumentului cu un factor constant va determina scalarea proporțională a funcției în sine. Acesta este:

unde denotă proporționalitate directă . Cu alte cuvinte, înmulțirea argumentului cu o constantă are ca rezultat înmulțirea valorii funcției cu o constantă . Astfel, toate legile puterii cu un exponent dat sunt echivalente până la înmulțirea cu o constantă, deoarece toate sunt doar versiuni scalate una ale celeilalte. Acest lucru dă naștere la o relație liniară între logaritmii lui și și o linie dreaptă pe o diagramă log-log , care este adesea considerată o caracteristică a unei legi de putere. În datele reale, această caracteristică este necesară, dar nu suficientă, pentru a concluziona că există o lege a puterii. Există multe modalități de a genera cantități finite de date care imită o lege a puterii, dar se abate de la aceasta în limita asimptotică (de exemplu, dacă procesul de generare a datelor urmează o distribuție lognormală ). Verificarea modelelor pentru conformitatea cu o lege a puterii este un domeniu real de cercetare în statistică, vezi mai jos.

Lipsa unei medii strict definite

Legea puterii are o medie bine definită la , numai dacă , și are o varianță finită , numai dacă . Pentru majoritatea legilor de putere cunoscute din natură, valorile exponentului sunt de așa natură încât valoarea medie este strict definită, dar varianța nu este, așa că pentru ele există posibilitatea de apariție a evenimentelor „ lebădei negre ” tip. [10] Acest lucru poate fi ilustrat cu următorul experiment de gândire: [11] Imaginați- vă într-o cameră cu prietenii și estimați venitul mediu lunar din camera respectivă. Acum imaginați-vă că cea mai bogată persoană din lume cu un venit lunar de aproximativ 1 miliard de dolari SUA a intrat în această cameră. Cum se va schimba valoarea venitului mediu lunar din cameră? Distribuția venitului urmează o lege a puterii cunoscută sub numele de distribuție Pareto (de exemplu, bogăția americanilor este distribuită conform unei legi a puterii cu un exponent de 2).

Pe de o parte, acest lucru nu permite utilizarea corectă a statisticilor tradiționale bazate pe varianță și abatere standard (de exemplu, analiza regresiei ). Pe de altă parte, permite o intervenție rentabilă. [11] De exemplu, să presupunem că gazele de eșapament ale mașinilor sunt distribuite conform unei legi de putere între mașini (adică cea mai mare parte a poluării provine de la un număr foarte mic de mașini). Atunci va fi suficient să eliminați acest număr mic de mașini de pe drumuri pentru a reduce semnificativ cantitatea totală de emisii. [12]

Mediana există: pentru o lege a puterii x - k cu exponent, aceasta ia valoarea 2 1/( k  - 1) x min , unde x min  este valoarea minimă pentru care este valabilă legea puterii [13]

Testul legii puterii

Deși legea puterii este atractivă din multe motive teoretice, demonstrarea faptului că datele urmează într-adevăr o lege a puterii necesită mai mult decât doar ajustarea parametrilor modelului. [14] Este important să înțelegem cum apar distribuțiile: distribuțiile aparent similare pot apărea din motive semnificativ diferite, iar modelele diferite oferă predicții diferite, de exemplu, atunci când se extrapolează. [15] [16]

Vezi și

Note

  1. ↑ Yaneer Bar-Yam. Concepte: Legea puterii . Institutul de sisteme complexe din New England. Preluat la 18 august 2015. Arhivat din original la 11 iulie 2015.
  2. ↑ Newman, MEJ Legile puterii, distribuțiile Pareto și legea lui Zipf  //  Contemporary Physics : jurnal. - 2005. - Vol. 46 , nr. 5 . - P. 323-351 . - doi : 10.1080/00107510500052444 . - . - arXiv : cond-mat/0412004 .
  3. ↑ Humphries NE, Queiroz N., Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW Environmental context explică tiparele de mișcare ale lui Lévy și Browniene ale prădătorilor marini  //  Nature: journal. - 2010. - Vol. 465 , nr. 7301 . - P. 1066-1069 . - doi : 10.1038/nature09116 . — . — PMID 20531470 .
  4. ↑ Klaus A., Yu S., Plenz D. Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches  // PLoS ONE : journal  /  Zochowski, Michal. - 2011. - Vol. 6 , nr. 5 . — P. e19779 . - doi : 10.1371/journal.pone.0019779 . - Cod biblic . — PMID 21720544 .
  5. ↑ Biogeografia istorică a peștilor de apă dulce neotropical  / Albert, JS; Reis, RE. — Berkeley: University of California Press , 2011. Arhivat la 30 iunie 2011 la Wayback Machine
  6. ↑ Cannavò, Flavio; Nunnari, Giuseppe. Despre o posibilă lege de scalare unificată pentru duratele erupțiilor vulcanice   // Rapoarte științifice : jurnal. - 2016. - 1 martie ( vol. 6 ). — P. 22289 . — ISSN 2045-2322 . - doi : 10.1038/srep22289 . - . — PMID 26926425 . Arhivat din original pe 18 ianuarie 2017.
  7. ↑ Stevens, S.S. (1957). Despre legea psihofizică. Revista psihologică, 64, 153-181
  8. ↑ Staddon, JER (1978). Teoria funcţiilor puterii comportamentale. Psychological Review, 85, 305-320.
  9. ↑ Clauset, Shalizi, Newman, 2009 .
  10. ↑ Newman, M.E.J.; Reggiani, Aura; Nijkamp, ​​​​Peter. Legile puterii, distribuțiile Pareto și legea lui Zipf  //  Orașe. — Elsevier , 2005. — Vol. 30 , nr. 2005 . - P. 323-351 . - doi : 10.1016/j.cities.2012.03.001 . - arXiv : cond-mat/0412004 .
  11. ↑ 1 2 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI Arhivat la 14 august 2019 la Wayback Machine
  12. ↑ Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; Copie arhivată . Consultat la 14 iunie 2015. Arhivat din original la 18 martie 2015.
  13. ↑ Newman, Mark EJ. „Legile puterii, distribuțiile Pareto și legea lui Zipf”. Fizica contemporană 46.5 (2005): 323-351. . Preluat la 24 ianuarie 2019. Arhivat din original la 25 noiembrie 2018.
  14. ↑ Hilbert, Martin. Legile puterii fără scară ca interacțiune între progres și difuzare  //  Complexitate : jurnal. - 2013. - Vol. 19 , nr. 4 . - P. 56-65 . - doi : 10.1002/cplx.21485 . - Cod . Arhivat din original pe 7 noiembrie 2018.
  15. ↑ Hall, P. On Some Simple Estimates of an Exponent of Regular Variation  //  Journal of the Royal Statistical Society, Series B : jurnal. - 1982. - Vol. 44 , nr. 1 . - P. 37-42 . — .
  16. ↑ Stumpf, MPH Critical Truths about Power Laws  // Science  :  jurnal. - 2012. - Vol. 335 , nr. 6069 . - P. 665-666 . - doi : 10.1126/science.1216142 . - . — PMID 22323807 .

Literatură

Link -uri