Gradul de transcendență

Gradul de transcendență este numărul maxim de elemente independente din punct de vedere algebric din extensia câmpului . Gradul de transcendență face posibilă măsurarea mărimii expansiunii.

Definiție

Fie o extensie a unui câmp la un câmp. Luați în considerare toate submulțimile posibile independente din punct de vedere algebric ale unui câmp peste un câmp . Gradul de transcendență al unei extensii date este definit ca cea mai mare cardinalitate dintre astfel de submulțimi. $L/K$ $K$ $L.$ $L$ $K.$

De obicei notat sau $\mathrm {trdeg} _{K}L$ $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Note

Dacă nu există elemente independente din punct de vedere algebric în câmpul extins , atunci mulțimea lor este goală , iar gradul de transcendență este egal cu zero. Astfel, gradul de transcendență zero înseamnă că extensia dată este algebrică . Dacă gradul de transcendență nu este zero, atunci există elemente „ transcendentale ” (nu algebrice în raport cu câmpul original). $L$ $L$

Concepte înrudite

O submulțime de se numește bază de transcendență a unei extensii dacă: $S$ $L$ $L/K,$

elementele sunt independente din punct de vedere algebric peste $S$ $K;$
baza este completă, adică este o extensie algebrică a câmpului obținută prin adăugarea de elemente la câmp $L$ $K(S),$ $S$ $K.$

Se poate arăta că pentru orice extindere dată a câmpului există baze de transcendență ( axioma alegerii este folosită în demonstrația ), și toate au aceeași cardinalitate, egală cu gradul de transcendență. Bazele de transcendență sunt un instrument util pentru demonstrarea diferitelor teoreme de existență despre homomorfisme de câmp .

Se spune că o extensie de câmp este pur transcendentală dacă există o submulțime de elemente independente din punct de vedere algebric , astfel încât $L/K$ $L$ $S$ $K$ $K(S)=L.$

Exemple

Pentru extinderea câmpului numerelor raționale la câmpul numerelor reale, gradul de transcendență este un continuum . Aceasta rezultă din faptul că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
Câmpul funcțiilor raționale ale variabilelor peste câmp este o extensie pur transcendentală . $n$ $K(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $K.$ $n,$ $\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}.$
Câmpul este o extensie a câmpului cu gradul de transcendență 1, deoarece este un număr algebric și este transcendental . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),\pi )$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt 2}$ $\pi$
Câmpul este, de asemenea, o extensie a câmpului ; gradul său de transcendență nu este definit (nici 1, nici 2), deoarece nu se știe dacă constantele și sunt independente din punct de vedere algebric. $\mathbb {Q} (\pi,e)$ $\mathbb {Q} ,$ $\pi$ $e$

Proprietăți

Dacă avem o extensie dublă a câmpului: atunci gradul de transcendență este egal cu suma (teoretică a mulțimii) a gradelor de transcendență și Baza transcendenței se obține prin combinarea bazelor de transcendență pentru și $M\supset L\supset K,$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. Moscova: Nauka, 1965.
Van der Waerden . Algebră. Definiții, teoreme, formule . - Sankt Petersburg. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arhivatpe 4 martie 2016 laWayback Machine
Zarissky O. , Samuel P. Algebra comutativă, volumul 1. M: Literatură străină, 1963.
Leng S. Algebră. M: Mir, 1967.

Link -uri

Kuzmin L. V. Extensie transcendentală