Val în picioare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 februarie 2016; verificările necesită 8 modificări .

O undă staționară este un fenomen de interferență a undelor care se propagă în direcții opuse, în care transferul de energie este slăbit sau absent [1] .

Undă staționară (electromagnetică) - o modificare periodică a amplitudinii câmpurilor electrice și magnetice de-a lungul direcției de propagare, cauzată de interferența undelor incidente și reflectate [2] .

O undă staționară este un proces oscilator (undă) în sistemele oscilatorii distribuite cu un aranjament caracteristic stabil spațial de maxime ( antinoduri ) și minime (noduri) de amplitudine alternativă . Un astfel de proces oscilator are loc atunci când interferează mai multe unde coerente .

De exemplu, o undă staționară apare atunci când o undă este reflectată de obstacole și neomogenități ca urmare a interacțiunii (interferenței) undelor incidente și reflectate. Rezultatul interferenței este afectat de frecvența oscilațiilor, modulul și faza coeficientului de reflexie, direcțiile de propagare a undelor incidente și reflectate unul față de celălalt, modificarea sau păstrarea polarizării undelor în timpul reflexiei, coeficientul de atenuare al undelor în mediul de propagare. Strict vorbind, o undă staționară poate exista doar dacă nu există pierderi în mediul de propagare (sau în mediul activ) și unda incidentă este reflectată complet. Într-un mediu real, însă, se observă modul undelor mixte, deoarece există întotdeauna un transfer de energie către locurile de absorbție și emisie. Dacă, atunci când o undă cade, aceasta este complet absorbită , atunci unda reflectată este absentă, nu există interferență de undă, amplitudinea procesului de undă în spațiu este constantă. Un astfel de proces de undă se numește val care călătorește .

Exemple de undă staționară sunt vibrațiile corzilor , vibrațiile aerului într-o țeavă de orgă [3] ; în natură - undele Schumann . Un tub Rubens este folosit pentru a demonstra undele staţionare într-un gaz .

Undă staționară bidimensională pe un disc elastic. Moda de bază
Mod de unde staționare mai înaltă pe un disc elastic

În cazul oscilațiilor armonice într-un mediu unidimensional, o undă staționară este descrisă prin formula:

u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi )

unde u sunt perturbații în punctul x la momentul t , este amplitudinea undei staționare, este frecvența, k este vectorul de undă și este faza . $u_{0}$ $\omega$ $\varphi$

Undele staţionare sunt soluţii ale ecuaţiilor de undă . Ele pot fi considerate ca o suprapunere a undelor care se propagă în direcții opuse.

Când există o undă staționară în mediu, există puncte în care amplitudinea oscilației este egală cu zero. Aceste puncte sunt numite nodurile undei staţionare. Punctele în care oscilațiile au amplitudinea maximă se numesc antinoduri .

Moduri

Undele staţionare îşi au originea în rezonatoare . Dimensiunile finite ale rezonatorului impun condiții suplimentare asupra existenței unor astfel de unde. În special, pentru sistemele de dimensiuni finite, vectorul de undă (și, în consecință, lungimea de undă ) poate lua doar anumite valori discrete . Oscilațiile cu anumite valori ale vectorului de undă se numesc moduri .

De exemplu, diferitele moduri de vibrație ale unei corzi prinse la capete determină tonul și tonurile fundamentale ale acesteia .

Descrierea matematică a undelor staţionare

În cazul unidimensional, două unde de aceeași frecvență, lungime de undă și amplitudine care se propagă în direcții opuse (de exemplu, una către cealaltă) vor interacționa, rezultând o undă staționară. De exemplu, o undă armonică care se propagă spre dreapta, ajungând la capătul unei coarde, produce o undă staționară. Unda care este reflectată de la capăt trebuie să aibă aceeași amplitudine și frecvență ca și unda incidentă.

Luați în considerare undele incidente și reflectate sub forma:

y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)

y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)

Unde:

y 0 este amplitudinea undei,
$\omega$ - frecvența ciclică (unghiulară), măsurată în radiani pe secundă,
k este vectorul de undă, măsurat în radiani pe metru și este calculat împărțit la lungimea de undă , $2\pi$ $\lambda$
x și t sunt variabile pentru lungime și timp.

Prin urmare, ecuația rezultată pentru o undă staționară y va fi suma y 1 și y 2 :

y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).

Folosind relații trigonometrice, această ecuație poate fi rescrisă ca:

y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).

Dacă luăm în considerare modurile și antimodurile , atunci distanța dintre modurile/antimodurile adiacente va fi egală cu jumătate din lungimea de undă . $x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...$ $x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...$ $\lambda /2$

Ecuația undelor

Pentru a obține unde staționare ca rezultat al rezolvării ecuației de unde diferențiale omogene (d'Alembert)

( ∇ 2 − unu v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=0}

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=0

condițiile sale de limită trebuie stabilite corespunzător (de exemplu, pentru a fixa capetele șirului).

În cazul general al unei ecuaţii diferenţiale neomogene

( ∇ 2 − unu v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u = f 0 u , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=f_{0}u,}

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=f_{0}u,

unde - joacă rolul unei „forțe”, cu ajutorul căreia se efectuează o deplasare într-un anumit punct al coardei, apare automat o undă staționară. $f_0$

Vezi și

Note

↑ Dicţionar de inginerie electrică IEEE / PALaplant, ed. CRC Press LLC, 2000.
↑ GOST 18238-72. Linii de transmisie cu microunde. Termeni și definiții.
↑ Joe Wolfie „Corzi, unde staționare și armonice” . Consultat la 12 august 2009. Arhivat din original la 10 februarie 2009. (nedefinit)

Link -uri

Joe Wolfie „Corzi, unde stătătoare și armonice”