Jet (matematică)

Un jet (sau jet , din engleză jet ) este o structură determinată în mod unic de derivatele parțiale ale unei funcții (sau secțiuni) într-un punct până la o anumită ordine. De exemplu , k -jetul unei funcții la zero este descris în mod unic de următoarea secvență a numărului --lea: $f$ $(k+1)$

f(0),f'(0),\dots ,f^{(k)}(0).

Jeturile și germenii oferă un limbaj invariant pentru teoria ecuațiilor diferențiale pe varietăți netede .

Definiții

Definiție analitică

K - jetul unui pachet netedpe o varietate într-un punct este o colecție de secțiuni netede având aceleași polinoame Taylor de gradul k într-un punctdintr-o diagramă (și, prin urmare, în orice) diagramă. $E$ $M$ $X$ $X$ $X$

Spațiul jet într-un punct $k$ $X$ este notat ca . $J_{x}^{k)$

Definiție algebro-geometrică

Această definiție se bazează pe ideile de geometrie algebrică și algebrei comutative . Fie spațiul vectorial al germenilor de mapări netede în punctul . Fie idealul mapărilor care dispar într-un punct (acesta este idealul maxim al inelului local ) și fie idealul constând din germenii tuturor mapărilor care dispar într-un punct până la ordinul al treilea. Definim spatiul jeturilor intr-un punct ca $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $f\colon \mathbb{R} ^{n}\la \mathbb{R} ^{m}$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $p$ $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ ${\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}$ $p$ $k$ $p$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{ n},\;\mathbb{R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}.

Dacă este o mapare lină, atunci putem defini un -jet într-un punct ca element pentru care $f\colon \mathbb{R} ^{n}\la \mathbb{R} ^{m}$ $k$ $f$ $p$ $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$

J_{p}^{k}f=f\,({\bmod \,}{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}).

Teorema lui Taylor

Indiferent de definiție, teorema lui Taylor stabilește un izomorfism canonic între spațiile vectoriale și , astfel încât jeturile de funcții din spațiul euclidian sunt adesea identificate cu polinoamele Taylor corespunzătoare. $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $\mathbb{R} ^{m}[z]/(z^{{k+1}})$

Spațiul jeturilor de la un punct la altul

Am definit spațiul cu jet în punctul . Subspațiul care conține acele jeturi de cartografiere pentru care , este notat $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $f(p)=q$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\în J_{p} ^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})\mid f(p)=q\}.

Jeturi de secțiuni ale unui pachet neted

Să fie un pachet neted . Jetul de ordinul al treilea al secțiunilor sale este clasa de echivalență a acestor secțiuni, care sunt identificate dacă valorile lor și valorile derivatelor lor parțiale până la ordinul al treilea la un punct coincid. Jeturile de ordinul al treilea formează o varietate netedă numită colector de jet . $Y\la X$ $k$ $j_{x}^{k}s$ $s$ $k$ $X$ $k$ $J^{k}Y$

Teoria conexiunii , teoria operatorilor diferenţiali şi teoria lagrangiană asupra fasciculelor netede (inclusiv teoria clasică a câmpului ) sunt formulate în termeni de varietăţi de jet . $J^{k}Y$

Literatură

Bocharov A. V., Verbovetsky A. M., Vinogradov A. M., Duzhin S. M., Dyer I. S., Samokhin A. V., Torkhov Yu. N., Khorkova N. G., Chetverikov V. N. , editat de Vinogradov A. M. și Krasilshchik Symmetrics for Conservation Lawmmetrics and Conservation M. Factorial, 2005 - 380 p. ISBN 5-88688-074-7
Vinogradov A. M., Krasilshchik I. S., Lychagin V. V. Introducere în geometria ecuațiilor diferențiale neliniare . — M .: Nauka, 1986. — 336 p.
Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introducere în principiul h . - M .: Centrul de Educație Matematică Continuă din Moscova, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Saunders D. Geometria fasciculelor cu jet. Cambridge: Cambridge University. Press., 1989.
Sardanashvili G. A. Metode moderne ale teoriei câmpului. 1. Geometrie și domenii clasice. - M. : URSS, 1996. - 224 p. — ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvily, G. , fascicule de fibre, colectoare cu jet și teoria lagrangiană. Prelegeri pentru teoreticieni, arXiv: 0908.1886
Pavlova N.G., Remizov A.O. O introducere în teoria singularității . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .