Varietatea sub-riemanniană

O varietate sub-riemanniană este un concept matematic care generalizează o varietate riemanniană . Esența generalizării este că produsul scalar este definit nu pe toate spațiile tangente , ci doar pe unele dintre subspațiile acestora (de obicei de dimensiune fixă).

Astfel, într-o varietate sub-riemanniană, conceptul de lungime nu este definit pentru toate curbele , ci doar pentru așa-numitele curbe orizontale (cele care ating subspațiul corespunzător în fiecare punct). Metrica intrinsecă a unei varietăți sub-riemanniene care apare astfel se numește metrica Carnot-Carathéodory .

Definiție

Fie o varietate netedă a dimensiunii , pe care este dată o distribuție netedă a dimensiunii , adică în fiecare punct, este dat un subspațiu liniar al spațiului tangent , care depinde fără probleme de punctul . Subspațiile sunt numite orizontale . Un câmp vectorial și o curbă se numesc orizontale dacă ating distribuția în fiecare punct (în cazul unei curbe, ne referim la toate punctele în care curba are o tangentă ). $M$ $m$ $\Delta$ $n<m$ $x\în M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $X$ $\Delta _{x}$ $M$ $\Delta$

O distribuție se numește complet neintegrabilă sau complet neholonomică dacă în fiecare punct orice vector al spațiului tangent poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de forma $\Delta$ $x \în M$ $T_{x}M$

A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \dots

cu unele . Aici înseamnă paranteza Lie a câmpurilor vectoriale.

A,B,C,D,\puncte \in \Delta _{x}

[A,B]

O varietate cu o distribuție complet neintegrabilă definită pe ea se numește sub-riemannian dacă fiecare subspațiu orizontal este echipat cu un produs interior g - un tensor metric care se schimbă fără probleme de la un punct la altul. Cu alte cuvinte, un triplu se numește varietate sub-riemanniană . $M$ $\Delta$ $\Delta _{x}\subset T_{x}M$ $(M,\Delta ,g)$

Concepte înrudite

Teorema Rashevsky-Chow

Teorema Rashevsky-Chow afirmă că pentru oricare două puncte dintr -o varietate sub-riemanniană conectată la cale , există o curbă orizontală netedă în bucăți care conectează aceste puncte. Această teoremă a fost demonstrată independent de matematicianul sovietic P. K. Rashevsky (1938) [1] și de matematicianul chinez Chow ( Wei-Liang Chow , 1939) [2] .

În această teoremă, condiția de netezime pentru o distribuție complet neholonomică poate fi slăbită și înlocuită cu condiția Lippitz [3] .

metrica Carnot-Carathéodory

Fiecare varietate sub-riemanniană are o metrică definită prin analogie cu o varietate riemanniană prin formula

d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot \gamma }(t),{\dot \gamma }(t))))\,dt ,

unde infimul este luat de-a lungul tuturor curbelor orizontale netede pe bucăți posibile care leagă punctele x și y , adică , , . Metrica definită în acest fel se numește metrica Carnot-Carathéodory . $\gamma :[0,1]\la M$ $\gamma(0)=x$ $\gamma (1)=y$ $d(x,y)$

Note

↑ Rashevsky P. K. Despre conectivitatea oricăror două puncte dintr-un spațiu complet neholonomic printr-o linie admisibilă. Uh. aplicația. Moscova stat ped. in-ta im. K. Liebknecht. Ser. Fiz.-Mat., 3:2 (1938), 83-94
↑ Chow WL Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Matematică. Ann. 117 (1939), 98-105
↑ K. V. Storozhuk . Teorema Carathéodory-Rashevsky-Chow pentru distribuțiile nonholomice Lipschitz. Sib. matematica. zhurn., 54:6 (2013), 1380-1387

Literatură

Bellaiche, André & Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Geometrie sub-riemanniană , voi. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3 , < https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC >

Gromov, Mikhael (1996), Carnot-Carathéodory spații văzute din interior , în Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemann geometry , voi. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, p. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3 , < http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf > Arhivat la 27 septembrie 2011 la Wayback Machine

Le Donne, Enrico, Note de curs despre geometria sub-riemanniană , < https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf >

Richard Montgomery , Un tur al geometriilor subriemanniene, geodezice și aplicații ale acestora (Studii și monografii matematice, volumul 91) , (2002) Societatea Americană de Matematică, ISBN 0-8218-1391-9 .

Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo , Introducere în geometria riemanniană și sub-riemanniană

RS Strichartz , Geometry Sub-Riemannian, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263 .