Suma a trei cuburi

Suma a trei cuburi este o problemă deschisă  în matematică despre reprezentabilitatea unui număr întreg ca suma a trei cuburi de numere întregi (pozitive sau negative).

Ecuația diofantină corespunzătoare este scrisă ca o condiție necesară pentru reprezentabilitatea unui număr ca sumă a trei cuburi: atunci când este împărțită la 9, nu lasă un rest de 4 sau 5.

În variantele problemei, numărul trebuie reprezentat prin suma de cuburi numai de numere nenegative sau raționale . Orice număr întreg este reprezentabil ca o sumă de cuburi raționale, dar nu se știe dacă sumele de cuburi nenegative formează o mulțime cu densitate asimptotică diferită de zero .

Istorie

Problema reprezentării unui număr întreg arbitrar ca sumă de trei cuburi există de aproximativ 200 de ani, prima soluție parametrică cunoscută în numere raționale a fost dată de S. Riley în 1825. Soluțiile parametrice în numere întregi se găsesc pentru  - în 1908 de A. S. Verebryusov [1] (profesor de matematică la gimnaziul masculin Feodosiya , fiul lui S. I. Verebryusov ), pentru  - în 1936 de Mahler [2] .

Hotărâri

O condiție necesară pentru reprezentabilitatea unui număr ca sumă a trei cuburi: atunci când este împărțit la 9, nu dă un rest de 4 sau 5; întrucât cubul oricărui număr întreg când este împărțit la 9 dă un rest de 0, 1 sau 8, atunci suma a trei cuburi când este împărțit la 9 nu poate da un rest de 4 sau 5 [3] . Nu se știe dacă această condiție este suficientă.

În 1992, Roger Heath-Brown a sugerat că oricare care nu dă un rest de 4 sau 5 atunci când este împărțit la 9 are infinite reprezentări ca sume a trei cuburi [4] .

Totuși, nu se știe dacă reprezentarea numerelor ca sumă a trei cuburi este algoritmic decidabilă, adică dacă algoritmul poate verifica existența unei soluții pentru orice număr dat într-un timp finit. Dacă ipoteza Heath-Brown este adevărată, atunci problema este rezolvabilă și algoritmul poate rezolva problema corect. Studiul Heath-Brown include, de asemenea, ipoteze mai precise despre cât de departe ar trebui să caute un algoritm pentru a găsi o reprezentare explicită, mai degrabă decât să determine doar dacă există [4] .

Cazul , a cărui reprezentare ca sumă de cuburi nu a fost cunoscută de mult timp, este folosit de Bjorn Punen ca exemplu introductiv într-un studiu al problemelor indecidabile din teoria numerelor , dintre care a zecea problemă a lui Hilbert este cel mai faimos exemplu [5] .

Numere mici

Căci există doar soluții banale

O reprezentare netrivială a lui 0 ca sumă a trei cuburi ar oferi un contraexemplu ultimei teoreme a lui Fermat pentru gradul 3 [6] demonstrată de Leonhard Euler : deoarece unul dintre cele trei cuburi va avea semnul opus celorlalte două numere, prin urmare negația sa este egală cu suma acestor două.

Căci și există un număr infinit de familii de soluții, de exemplu (1 - Mahler, 1936, 2 - Verebryusov, 1908):

Există alte reprezentări și alte familii parametrizate de reprezentări pentru 1 [7] . Pentru alte 2 reprezentări cunoscute sunt [7] [8]

Aceste egalități pot fi folosite pentru a descompune orice cub sau cub dublat într-o sumă de trei cuburi [1] [9] .

Totuși, 1 și 2 sunt singurele numere cu reprezentări care pot fi parametrizate prin polinoame de gradul al patrulea [10] . Chiar și în cazul reprezentărilor, Louis J. Mordell scria în 1953: „Nu știu nimic” în afară de mici decizii.

și, de asemenea, că toate cele trei cuburi trebuie să fie egale cu 1 modulo 9 [11] [12] . Pe 17 septembrie 2019, Andrew Booker și Andrew Sutherland, care au găsit o reprezentare pentru cazurile dificile 33 și 42 (vezi mai jos), au publicat o altă reprezentare 3, care a durat 4 milioane de ore pentru a găsi în rețeaua Charity Engine [13] [14] :

Alte numere

Din 1955, după Mordell, mulți cercetători au căutat soluții folosind un computer [15] [16] [8] [17] [18] [19] [20] [2] [21] [22] .

În 1954, Miller și Woollett găsesc reprezentări pentru 69 de numere de la 1 la 100. În 1963, Gardiner, Lazarus, Stein explorează intervalul de la 1 la 999, găsesc reprezentări pentru multe numere, cu excepția a 70 de numere, dintre care 8 valori sunt mai mici de 100. În 1992, Heath-Brown și colaboratorii au găsit o soluție pentru 39. În 1994, Koyama, folosind calculatoare moderne, găsește soluții pentru încă 16 numere de la 100 la 1000. În 1994, Conn și Waserstein - 84 și 960. În 1995, Bremner - 75 și 600, Lux - 110, 435, 478. În 1997, Koyama și colab. - 5 numere noi de la 100 la 1000. În 1999, Elkis - 30 și încă 10 numere noi de la 1000. În 2007, Beck și colab.- 52, 195, 588 [2] . În 2016 Huisman - 74, 606, 830, 966 [22] .

Elsenhans și Jahnel în 2009 [21] au folosit metoda Elkis [20] , care folosește reducerea bazei rețelei pentru a găsi toate soluțiile ecuației Diofantine pentru pozitiv nu mai mult de 1000 și pentru [21] , apoi Huisman în 2016 [22] a extins caută la .

În primăvara lui 2019, Andrew Booker (Universitatea din Bristol) a dezvoltat o strategie de căutare diferită, cu timp de calcul proporțional mai degrabă decât cu maximul lor și a găsit o reprezentare de 33 și 795 [23] [24] [25] :

În septembrie 2019, Booker și Andrew Sutherland au închis intervalul la 100, găsind o reprezentare de 42, pentru care au fost petrecute 1,3 milioane de ore de calcul în Charity Engine [26] :

Mai târziu, în aceeași lună, au găsit o descompunere a numărului 906 [27] :

Și apoi 165 [28] :

Pentru 2019, au fost găsite reprezentări ale tuturor numerelor până la 100 care nu sunt egale cu 4 sau 5 modulo 9. Reprezentările pentru 7 numere de la 100 la 1000 rămân necunoscute: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975 [26] .

Cel mai mic caz nerezolvat este [26] .

Opțiuni

Există o variantă a problemei în care numărul trebuie reprezentat ca suma a trei cuburi de numere întregi nenegative, această problemă este legată de problema lui Waring . În secolul al XIX-lea , Carl Gustav Jacob Jacobi și colegii săi au întocmit tabele de soluții la această problemă [29] . Se presupune, dar nu se dovedește, că numerele reprezentabile au o densitate asimptotică pozitivă [30] [31] , deși Trevor Wooley a arătat că este posibil să se reprezinte numere în intervalul de la [32] [33] [34] în în acest fel . Densitatea nu mai mult de [3] .

O altă opțiune este cu numere raționale. Se știe că orice număr întreg poate fi reprezentat ca suma a trei cuburi de numere raționale [35] [36] .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 A. S. Verebryusov (1908), Despre ecuația x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3 , Colecția matematică T. 26 (4): 622–624 , < http://mi.mathnet.ru /msb6615 > 
  2. ↑ 1 2 3 Beck, Michael; Pin, Eric; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), New integer representations as the sum of three cubes , Mathematics of Computation vol . 76 (259): 1683–1690 , DOI 10.1090/S0025-5718-07-01947-3 
  3. ↑ 1 2 Davenport, H. (1939), On Waring's problem for cubes , Acta Mathematica T. 71: 123–143 , DOI 10.1007/BF02547752 
  4. ↑ 1 2 Heath-Brown, DR (1992), The density of zeros of forms for which weak aproximation fails , Mathematics of Computation vol. 59 (200): 613–623 , DOI 10.2307/2153078 
  5. ↑ Poonen, Bjorn (2008), Indecidibilitatea în teoria numerelor , Notices of the American Mathematical Society vol. 55 (3): 344–350 , < https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf > 
  6. ↑ Machis, Yu. Yu. (2007), Despre proba ipotetică a lui Euler , Note matematice vol. 82 (3): 352–356 , DOI 10.1134/S0001434607090088 
  7. ↑ 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes , DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301 
  8. ↑ 1 2 Heath-Brown, D. R .; Lioen, WM & te Riele, HJJ (1993), On solving the Diophantine equation on a vector computer , Mathematics of Computation vol. 61 (203): 235–244, doi : 10.2307/2152950 , < https://ir.cwi .nl/pub/5502 > 
  9. ↑ Mahler, Kurt (1936), Notă despre ipoteza K a lui Hardy și Littlewood , Journal of the London Mathematical Society vol . 11(2): 136–138 , DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  10. ↑ Mordell, LJ (1942), On sums of three cubes , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 17 (3): 139–144 , DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  11. ↑ Mordell, LJ (1953), Despre soluțiile întregi ale ecuației , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 28: 500–510 , DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  12. ↑ Egalitatea mod 9 a numerelor ale căror cuburi însumează 3 a fost creditată lui JWS Cassels de către Mordell (1953 ), dar demonstrația sa nu a fost publicată până la Cassels, JWS (1985), A note on the Diophantine equation , Mathematics of Computation Vol . 44 (169): 265–266 , DOI 10.2307/2007811  .
  13. ↑ Lu, Donna Matematicienii găsesc o modalitate complet nouă de a scrie numărul 3 . New Scientist (18 septembrie 2019). Preluat: 11 octombrie 2019.
  14. ↑ markmcan. Suma nebunește de uriașă de trei cuburi pentru 3 descoperite – după 66 de ani de căutare . [Tweet] . Twitter (17 septembrie 2019) .
  15. ↑ Miller, JCP & Woollett, MFC (1955), Solutions of the Diophantine equation , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 30: 101–110 , DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101 
  16. ↑ Gardiner, VL; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation , Mathematics of Computation vol. 18 (87): 408–413 , DOI 10.2307/2003763 
  17. ↑ Conn, W. & Vaserstein, LN (1994), On sums of three integral cubes , The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992) , voi. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: Societatea Americană de Matematică, p. 285–294 , DOI 10.1090/conm/166/01628 
  18. ↑ Bremner, Andrew (1995), On sums of three cubes, Teoria numerelor (Halifax, NS, 1994) , voi. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: Societatea Americană de Matematică, p. 87–91 
  19. ↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), On searching for solutions of the Diophantine equation , Mathematics of Computation vol. 66 (218): 841–851 , DOI 10.1090/S0025-5718-97-00830-2 
  20. ↑ 1 2 Elkies, Noam D. (2000), Rational points near curves and small nonzero via lattice reduction , Teoria algoritmică a numerelor (Leiden, 2000) , voi. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, p. 33–63 , DOI 10.1007/10722028_2 
  21. ↑ 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes , Mathematics of Computation vol . 
  22. ↑ 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes 
  23. ↑ Kalai, Gil (9 martie 2019), Combinatorică și altele , > 
  24. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , Universitatea din Bristol , < https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf > 
  25. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , Research in Number Theory , vol. 5:26 a.m., Springer , DOI 10.1007/s40993-019-0162-1 
  26. ↑ 1 2 3 Houston, Robin 42 este răspunsul la întrebarea „ce este (-80538738812075974) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 ?' . The Aperiodical (6 septembrie 2019). Data accesului: 4 ianuarie 2021.
  27. ↑ Pagina personală a lui Andrew V. Sutherland . Preluat: 20 septembrie 2019.
  28. ↑ Pagina personală a lui Andrew V. Sutherland . Preluat: 30 septembrie 2019.
  29. ↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis , Instituția Carnegie din Washington, p. 717 , < https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716 > 
  30. ↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Sums of three cubes in three linked three-progressions , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 1995 (466): 45–85 , DOI 10.1515/crll.1995. 
  31. ↑ Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), Despre densitatea sumelor de trei cuburi , în Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germania, 23-28 iulie 2006, Proceedings , vol. 4076, Note de curs în informatică, Berlin: Springer, p. 141–155 , DOI 10.1007/11792086_11 
  32. ↑ Wooley, Trevor D. (1995), Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behavior , Inventiones Mathematicae T. 122 (3): 421–451 , DOI 10.1007/BF01231451 
  33. ↑ Wooley, Trevor D. (2000), Sums of three cubes , Mathematika T. 47 (1–2): 53–61 (2002) , DOI 10.1112/S0025579300015710 
  34. ↑ Wooley, Trevor D. (2015), Sums of three cubes, II , Acta Arithmetica vol. 170 (1): 73–100 , DOI 10.4064/aa170-1-6 
  35. ^ Richmond, H.W. (1923), Despre analogii problemei lui Waring pentru numerele raționale , Proceedings of the London Mathematical Society , Second Series vol. 21: 401–409 , DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401 
  36. ↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), Despre reprezentarea numerelor întregi pozitive ca sume a trei cuburi de numere raționale pozitive, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, p. 49–53 

Link -uri