Simbol Levi-Civita

Simbolul Levi-Civita este un simbol matematic folosit în analiza tensorială . Numit după matematicianul italian Tullio Levi-Civita . Desemnat . Iată un simbol pentru un spațiu tridimensional, pentru alte dimensiuni numărul de indici se modifică (vezi mai jos). $\varepsilon_{ijk}$

Alte nume:

tensor unitar absolut antisimetric ,
tensorul unitar total antisimetric ,
obiect absolut oblic-simetric ,
tensorul Levi-Civita (simbolul Levi-Civita este o notație componentă a acestui tensor),
Simbol Kronecker oblic-simetric (acest termen a fost folosit în manualul de calcul tensor al lui Akivis și Goldberg).

Definiție

Într-un spațiu tridimensional, într-o bază ortonormală dreaptă ( sau în general într-o bază dreaptă cu un determinant unitar al metricii), simbolul Levi-Civita este definit după cum urmează:

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\ 0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}}

adică pentru o permutare pară a indicilor i , j , k este egal cu 1 (pentru triple (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), pentru un impar permutarea este egală cu −1 ( pentru tripleți (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), iar în alte cazuri este egal cu zero (în prezența repetării indici). Pentru componentele din baza stângă se iau numere opuse. $\varepsilon_{ijk}$

Pentru cazul general (coordonate oblice arbitrare cu vectori de bază pe dreapta), această definiție este de obicei schimbată în

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g}),&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g)),&P( i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

unde este determinantul matricei tensorului metric , care este pătratul volumului paralelipipedului acoperit de bază. Pentru componentele din baza stângă se iau numere opuse. $g$ $g_{ij}$ $\varepsilon_{ijk}$

Un astfel de set de componente este un tensor (adevărat) . Dacă, așa cum se face uneori în literatură, formulele de mai sus sunt folosite ca definiție pentru orice sistem de coordonate - atât la dreapta cât și la stânga -, atunci setul de numere rezultat va reprezenta un pseudotensor . În acest caz, va fi la fel, dar cu un înlocuitor pentru $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon ^{ijk}$ ${\sqrt {g))$ $1/{\sqrt {g}).$

$\varepsilon_{ijk}$ poate fi definit și ca produsul mixt al vectorilor de bază în care este aplicat simbolul:

\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].

Această definiție este pentru orice bază dreapta sau stânga, deoarece diferența de semn pentru bazele stânga și dreapta este în produsul mixt. Valoarea absolută a fiecărei componente non-nule este egală cu volumul paralelipipedului acoperit de baza . Tensorul, așa cum era de așteptat, este antisimetric față de orice pereche de indici. Definiția este echivalentă cu cea de mai sus. $\{{\vec {e_{i)}}\}$

Uneori folosesc o definiție alternativă a simbolului Levi-Civita fără un multiplicator în nicio bază (adică, astfel încât toate componentele sale să fie întotdeauna egale cu ±1 sau 0, ca în definiția de mai sus pentru bazele ortonormale). În acest caz, nu este în sine o reprezentare a unui tensor. Înmulțit cu obiectul (coincide cu în definiția de mai sus și fiind un tensor) în acest caz este notat cu o literă diferită și este de obicei numit un element de volum . Urmăm definiția lui Levi-Civita aici. (Această remarcă este valabilă nu numai pentru spațiul tridimensional, ci și pentru orice dimensiune.) ${\sqrt {g))$ ${\sqrt {g))$ $\varepsilon_{ijk}$

Sensul geometric

După cum se poate observa deja din definiție prin produsul mixt, simbolul Levi-Civita este asociat cu un volum orientat și o zonă orientată, reprezentate ca un vector.

În spațiul tridimensional (euclidian), produsul mixt al trei vectori

V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k)

este un volum orientat ( un pseudoscalar al cărui modul este egal cu volumul, iar semnul depinde de orientarea triplului de vectori) al paralelipipedului întins de trei vectori , și . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Produs vectorial al doi vectori

S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

este aria orientată a unui paralelogram ale cărui laturi sunt vectori și , reprezentată de un pseudovector a cărui lungime este egală cu aria și a cărui direcție este ortogonală cu planul paralelogramului. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Acest sens se păstrează pentru orice dimensiune spațială n , dacă, bineînțeles, o luăm cu numărul corespunzător de indici, prin volum înțelegem volumul n -dimensional, iar prin aria - ( n − 1)-dimensională (hiper- ) zonă. În acest caz, în mod natural, formula corespunzătoare include n și ( n − 1) vectori — factori. De exemplu, pentru un spațiu 4-dimensional (euclidian): $\varepsilon$

V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Proprietăți

Determinantul unei matrice 3×3 A poate fi scris (aici ne referim la standardul și, prin urmare, la baza ortonormală ) ca ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\ \\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
Produsul vectorial al doi vectori spațiali se scrie prin acest simbol: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^ {i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$ , unde sunt componentele sale și sunt vectori de bază. $c_{i}=\sum _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ ${\vec {e}}^{i}$
Produsul mixt al vectorilor de asemenea: $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a ^{i}b^{j}c^{k}.$
În următoarea formulă denotă simbolul Kronecker : $\delta$ $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i }^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l }&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$
Însumând peste un indice comun dă $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _ {km}.$
În cazul a doi indici împărtășiți , tensorul se prăbușește astfel: $i,j$ $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$

(Pretutindeni aici, în cazul unei baze ortonormale, toți indicii pot fi pur și simplu rescriși ca indicii mai mici.)

Generalizare la cazul n dimensiuni

Simbolul Levi-Civita poate fi generalizat cu ușurință la orice număr de dimensiuni mai mari decât unu, folosind definiția în termeni de paritate a permutărilor indicelui :

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}\!\\\!\\\!\end{matrix}}\right.$	$+{\sqrt{g}),$ dacă există o permutare uniformă a setului $(i,j,k,l,\dots )$ $(1,2,3,4,\dots );$
	$-{\sqrt{g}),$ dacă există o permutare ciudată a setului $(i,j,k,l,\dots )$ $(1,2,3,4,\dots );$
	$0$ dacă cel puţin doi indici sunt la fel.

Adică, este egal cu semnul (signum) permutării , înmulțit cu rădăcina determinantului metricii în cazul în care indicii iau valori care implementează permutarea mulțimii , iar în alte cazuri, zero . (După cum puteți vedea, numărul de indici este egal cu dimensiunea spațiului .) ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\)))}$ $(1,2,3,\dots ,n)$ $n$

În spațiile pseudo-euclidiene , dacă semnătura metricii este de așa natură încât , se ia de obicei în locul ei pentru a o face reală. $g<0$ $-g$ ${\sqrt {g))$
În toate dimensiunile în care este definit simbolul Levi-Civita, acesta reprezintă un tensor (adică, în principal, trebuie să vă asigurați că numărul de indici de simbol se potrivește cu dimensiunea spațiului). În plus, după cum se poate observa din cele de mai sus, pot exista unele dificultăți cu definiția obișnuită a simbolului Levi-Civita în spațiile în care tensorul metric nu este definit sau, să spunem, sau . $\det {\{g_{ij}\}}=0$ $\det {\{g^{ij}\}}=0$

Se poate demonstra că măsurătorile au proprietăți similare cu cele tridimensionale: $n$

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- care se datorează faptului că există permutări ale mulțimii și, prin urmare, există același număr de componente non-nule cu indici.

n!

(1,2,3,\dots ,n)

\varepsilon

n

$\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\ \delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\ \end{vmatrix}}.$

După extinderea determinantului, apare un multiplicator și se fac simplificări în simbolurile Kronecker corespunzătoare.

n!

Produsul pseudo-scalar al doi vectori în spațiul bidimensional: ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j} .$

Determinantul matricei mărimii poate fi scris convenabil folosind simbolul Levi-Civita -dimensional $A$ $n\ ori n$ $n$ $\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3} \cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

care este, de fapt, doar definiția determinantului (unul dintre cele mai comune) rescrisă folosind acest simbol. Aici se presupune că baza este standard, iar componentele diferite de zero de aici preiau valorile .

\varepsilon _{ijk\ldots )

\pm 1

O generalizare dimensională directă a produsului încrucișat al vectorilor bucăți ( -dimensionali): $n$ $n-1$ $n$ ${\vec {p}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j ,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f))^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

unde sunt componentele sale și sunt vectori de bază. (Aici, pentru concizie, notăm expresia pentru componentele covariante și expansiunea în baza duală.)

p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }a^{j}b^{k}c^{m} \ldots

{\vec {f}}^{i}

O generalizare dimensională directă a produsului mixt al vectorilor bucăți ( -dimensionali): $n$ $n$ $n$ $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$

Notație neindexată (pentru n dimensiuni)

În notația tensorală neindexată, simbolul Levi-Civita este înlocuit cu un operator de dualitate numit asterisc Hodge sau pur și simplu operatorul asterisc:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{nk))))={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1} ,\ldots ,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{nk}}}}

(pentru un tensor arbitrar, având în vedere regula de însumare a lui Einstein ). $\eta ,$

Vezi și

Link -uri

Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita's tensor analysis papers , (1975) Math Sci Press, Brookline (pentru definirea simbolului vezi p. 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (A se vedea paragraful 3.5 pentru o privire de ansamblu asupra aplicării tensorilor în relativitatea generală ).
Traducere rusă: C. Mizner, K. Thorn, J. Wheeler, Gravity . - M . : Mir, 1977 (Vezi indexul - tensorul Levi-Civita).
Dimitrienko Yu. I., Calcul tensor , M. : Școala superioară, 2001. - 575 p.