Produs pseudoscalar

Un pseudoscalar [1] sau produs oblic al vectorilor și pe un plan este un număr $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta,

unde este unghiul de rotație (în sens invers acelor de ceasornic) de la până la . Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci . Din punct de vedere geometric, produsul pseudoscalar al vectorilor este aria orientată a paralelogramului acoperită de acești vectori. Cu ajutorul acestuia, este convenabil să lucrați cu zonele poligoanelor, să exprimați condițiile pentru coliniaritatea vectorilor și să găsiți unghiurile dintre ele. $\theta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0$

Produsul pseudoscalar există doar pentru vectorii bidimensionali, omologul său în spațiul 3D este produsul punctual triplu .

Proprietăți

Linearitate : Aici sunt numere reale arbitrare . $\mathbf {a} \wedge (\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} )=\lambda \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mu \mathbf {a} \wedge \mathbf {c} .$ $\lambda$ $\mu$
Anticomutativitate : . $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a}$
$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ este un pseudoscalar , adică invariant în toate izometriile nedegenerate care nu includ reflexii.
Produsul pseudoscalar este aria orientată a paralelogramului acoperită de vectorii și . $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$
- Valoarea absolută a produsului pseudoscalar este
aria unui astfel de paralelogram. $|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |$
Aria orientată a unui triunghi este exprimată prin formula $\triunghi ABC$ $S(A,B,C)={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}),$

iar aria sa este , prin urmare, egală cu modulul acestei mărimi.

Dacă luăm în considerare un plan în spațiul tridimensional, atunci

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,

unde « » și « » sunt produsele vectoriale și , respectiv, scalare și este vectorul unitar al normalei la plan. Semnul plus este luat dacă baza dreaptă din plan, completată de vectorul , formează și o bază dreaptă; altfel minus.

\times

\ \cdot

\mathbf {n}

\mathbf {n}

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\mathbf {0}$ este o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea vectorilor nenuli pe plan. Vectorul nul este de obicei considerat ortogonal cu orice alt vector pentru comoditate cu produsul punctual mai comun , deși aceasta este o convenție arbitrară.
Din liniaritate și anticomutatibilitate rezultă că, dacă pe plan sunt date o bază ortonormală și doi vectori cu coordonate , atunci produsul lor pseudoscalar este egal cu determinantul $\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle ,~~\angle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2 })={\tfrac {\pi }{2)),$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}),~~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}),$

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix))

Această expresie poate fi scrisă și în termenii simbolului Levi-Civita în două dimensiuni:

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\sum _{i,\;j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j)

Vezi și

Note

↑ Prasolov V.V. , Sarcini în planimetrie. Copie de arhivă din 16 noiembrie 2011 la Wayback Machine - ediția a IV-a, completată - M .: MTSNMO, 2001. - 584 p. ; ISBN 5-900916-82-0 .

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte