Masa efectivă

Masa efectivă este o mărime care are dimensiunea masei și este utilizată pentru a descrie convenabil mișcarea unei particule în potențialul periodic al unui cristal . Se poate demonstra că electronii și găurile dintr-un cristal reacționează la un câmp electric ca și cum s-ar fi mișcat liber în vid , dar cu o anumită masă efectivă, care este de obicei determinată în unități de masă a electronilor (9,11 × 10 -31 kg ) . Masa efectivă a unui electron într-un cristal ( electron de conducere ), în general, este diferită de masa unui electron în vid și poate fi fie pozitivă, fie negativă [1] . $m_{0}$

Conceptul de masă efectivă

Varianta izotropă

Dacă legea dispersiei electronilor într-o anumită substanță cristalină este de așa natură (sau poate fi considerată astfel cu o precizie acceptabilă) încât energia depinde numai de modulul vectorului de undă , atunci masa efectivă a unui electron, prin definiție, este cantitate [2] $E=E({\vec {k)})$ $E$ $k$

m^{*}=\hbar ^{2}/\left[{{d^{2}E} \over {dk^{2}}}\right]

unde este constanta Planck-Dirac . $\hbar$

Uneori, de dragul simplificării radicale, această aproximare este limitată, de parcă o situație izotropă ar fi singura posibilă.

Sensul fizic

Viteza unui electron într-un cristal este egală cu viteza de grup a undelor de electroni și este definită ca

v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}

Aici este frecventa. Diferențiând în funcție de timp, determinăm accelerația electronilor: $\omega$ $v_{g)$

a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{ \frac {dk}{dt}}}

Forța care acționează asupra unui electron dintr-un cristal este

F={\frac {dp}{dt}}=\hbar {\frac {dk}{dt}}

unde este impulsul. Din ultimele două expresii, obținem $p$

a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F={\frac {F}{m^ {*}}}

din care se poate vedea sensul mărimii ca un fel de „masă”. $m^{{*}}$

Comportament tipic

Pentru o particulă liberă , legea dispersiei este pătratică și astfel masa efectivă este constantă și egală cu masa în repaus a electronului . $m_{0}$

Într-un cristal, situația este mai complicată și legea dispersiei diferă de una pătratică. Cu toate acestea, curba legii de dispersie în apropierea extremelor sale este adesea bine aproximată printr-o parabolă - și atunci masa efectivă va fi, de asemenea, o constantă, deși diferită de . În acest caz , se poate dovedi atât pozitiv (aproape de partea inferioară a benzii de conducere ) cât și negativ (aproape de partea superioară a benzii de valență ). $E({\vec {k)})$ $m^{*}$ $m_{0}$ $m^{*}$

Departe de extreme, masa efectivă, de regulă, depinde puternic de energie (formularea „depinde de energie” este potrivită numai pentru cazul izotrop), iar apoi operarea cu ea încetează să mai aducă orice confort. $E$

Anizotropie de masă

În cazul general, masa efectivă depinde de direcția în cristal și este un tensor. Se obișnuiește să se vorbească despre tensorul de masă invers efectiv, componentele acestuia se găsesc din legea dispersiei [3] [4] : $E=E({\vec {k)})$

{\displaystyle \left({\frac {1}{m^{*}}}\right)_{i,j}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\ parțial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j))))

unde este vectorul de undă cu proiecții , , pe axele sistemului de coordonate carteziene. Natura tensorală a masei efective ilustrează faptul că într-o rețea cristalină un electron se mișcă ca o cvasiparticulă ai cărei parametri de mișcare depind de direcția față de axele cristalografice ale cristalului. În acest caz, valorile nu depind de energie, ci de starea specificată de vector . $\vec{k}$ $k_{x}$ $k_{y)$ $k_{z}$ $(1/m^{*})_{i,j)$ $\vec{k}$

Există și alte abordări pentru calcularea masei efective a unui electron dintr-un cristal [5] .

Ca și în aproximarea izotropă, utilizarea tensorului de masă efectiv invers este limitată în principal la regiunile apropiate de extremele funcției . În afara acestor zone - ca, de exemplu, în cazul analizării comportamentului unei populații de electroni fierbinți - sunt luate în considerare direct dependențele , care sunt tabulate. $E({\vec {k)})$ $E({\vec {k)})$

Valoare pentru unii semiconductori

Valorile caracteristice ale masei efective variază de la fracții la unități , cel mai adesea aproximativ . $m_{0}$ $0,5m_{0}$

Tabelul arată [6] [7] masa efectivă a electronilor ( ) și a găurilor ( ) pentru cei mai importanți semiconductori — substanțe simple din grupa IV și compuși binari A III B V și A II B VI . Toate valorile sunt prezentate în unități de masă a electronilor liberi . $m_{e}^{*}$ $m_{h}^{*}$ $m_{0}$

Material	$m_{e}^{*}$	$m_{h}^{*}$
Grupa IV
Si (4.2K)	1.08	0,56
GE	0,55	0,37
A III B V
GaAs	0,067	0,45
InSb	0,013	0,6
A II B VI
ZnSe	0,17	1.44
ZnO	0,19	1.44

Acest site oferă dependența de temperatură a masei efective pentru siliciu.

Definiție experimentală

În mod tradițional, masele efective de purtător au fost măsurate prin metoda rezonanței ciclotronului , care măsoară absorbția unui semiconductor în domeniul de microunde al spectrului în funcție de inducția câmpului magnetic . Când frecvența microundelor este egală cu frecvența ciclotronului , se observă un vârf ascuțit în spectru ( - masa ciclotronului ). În cazul unei legi de dispersie izotropă pătratică pentru purtătorii de sarcină, masele efective și de ciclotron coincid, . În ultimii ani, masele efective au fost de obicei determinate din măsurătorile structurii benzii folosind metode precum fotoemisia cu rezoluție unghiulară (ARPES) sau o metodă mai directă bazată pe efectul de Haas-van Alphen . $B$ $\omega _{c}={\frac {eB}{m_{c)}},$ $m_{c)$ $E({\overrightarrow {k)})=\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}$ $m_{c}=m^{*}$

Masele efective pot fi estimate și folosind coeficientul γ din termenul liniar al contribuției electronice la temperatură joasă la capacitatea termică la volum constant Capacitatea termică depinde de masa efectivă prin densitatea stărilor la nivelul Fermi . $CV.$

Semnificația masei efective

După cum arată tabelul, compușii semiconductori A III B V , cum ar fi GaAs și InSb, au mase efective mult mai mici decât semiconductorii din a patra grupă a sistemului periodic - siliciu și germaniu. În cea mai simplă teorie Drude a transportului de electroni, viteza de deplasare a purtătorilor este invers proporțională cu masa efectivă: unde , este timpul de relaxare a impulsului și este sarcina electronului . Viteza circuitelor integrate depinde de viteza purtătorilor și, prin urmare, masa efectivă scăzută este unul dintre motivele pentru care GaAs și alți semiconductori din grupa A III B V sunt utilizați în locul siliciului în aplicații cu lățime de bandă mare . $\vec{v} = \begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} \cdot \vec{E},$ ${\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}}$ $\tau$ $e$

În cazul transferului de electroni și găuri printr-un strat subțire de semiconductor sau dielectric prin efectul de tunel , masa efectivă din acest strat afectează coeficientul de transmisie (o scădere a masei duce la o creștere a coeficientului de transmisie) și, în consecință, actual.

Masa efectivă a densității stărilor

Comportarea densității stărilor electronilor și a găurilor în apropierea marginilor benzii este aproximată prin formule

\rho _{e}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dc}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E -E_{c}}},\qquad \rho _{h}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dv}}{h^{2}}}\right)^{3/ 2}{\sqrt {E_{v}-E}}

unde și sunt energiile marginilor benzii de valență și, respectiv, ale benzii de conducere, este constanta lui Planck. Mărimile incluse aici se numesc masele efective ale densității stărilor. Pentru o lege de dispersie parabolică izotropă, acestea coincid cu masele efective (separat pentru electroni și găuri), iar în cazurile anizotrope mai complexe se găsesc numeric, cu mediere pe direcții. $E_{v}$ $E_{v}$ $h$ $m_{dv)$ $m_{dc)$ $m^{*}$

Generalizări

Conceptul de masă efectivă în fizica stării solide este folosit nu numai în raport cu electronii și găurile [3] . Se generalizează la alte cvasiparticule (tipuri de excitații), precum fononi , fotoni sau excitoni , cu aceleași formule de calcul (numai legile de dispersie sunt substituite, respectiv, fononilor etc.). Cu toate acestea, principala aplicație a termenului este încă tocmai cinetica electronilor și a găurilor din cristale.

Link -uri

arhiva NSM
Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids . — Pergamon Press, 1975. Cartea conține o discuție cuprinzătoare, dar accesibilă a subiectului, cu o comparație extinsă între teorie și experiment.

Note

↑ Epifanov, 1971 , p. 137.
↑ Epifanov, 1971 , p. 136.
↑ 1 2 Dicţionar enciclopedic fizic, articol „Masa efectivă” - M .: Enciclopedia sovietică. ed. A. M. Prokhorova. 1983.
↑ Askerov, BMFenomene de transport de electroni în semiconductori ,ed. a 5-a . - Singapore: World Scientific , 1994. - P. 416.
↑ Pekar S.I. Electroni de conducere în cristale // Probleme de fizică teoretică. Colecție dedicată lui Nikolai Nikolaevich Bogolyubov în legătură cu cea de-a 60-a aniversare. - M., Nauka , 1969. - Tiraj 4000 exemplare. — c. 349-355
↑ Sze SM Fizica dispozitivelor semiconductoare . - John Wiley & Sons, 1981. - (publicația Wiley-Interscience). — ISBN 9780471056614 .
↑ Harrison W. A. Structura electronică și proprietățile solidelor: fizica legăturii chimice . - Dover Publications, 1989. - (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486660219 .

Literatură

Epifanov GI Fundamentele fizice ale microelectronicii. - M . : Radio sovietică, 1971. - 376 p.