Teorema operatorului invers al lui Banach

Teorema operatorului invers al lui Banach este unul dintre cele trei principii de bază ale teoriei „Banach” a operatorilor liniari (ceilalți doi sunt teorema Hahn-Banach și principiul mărginirii uniforme ). [unu]

Formulare

Dacă un operator liniar mărginit mapează întregul spațiu Banach pe întregul spațiu Banach unu-la-unu , atunci există un operator liniar mărginit invers operatorului care se mapează pe . [2] $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$ $A$ $E_1$ $E$

Consecințele

Deschide teorema de cartografiere

Este deschisă o mapare liniară continuă a unui spațiu Banach pe întregul spațiu Banach . [3] $A$ $E$ $E_1$

Lema triplă

Fie spații Banach și , fie operatori liniari continui și mapați pe tot (adică ). Dacă în acelaşi timp $E, E_1, E_2$ $A \colon E \to E_1$ $B\colon E\la E_2$ $B$ $E$ $E_2$ $\mbox{Im}\, B = E_2$

\mbox{Ker} \, A \supset \mbox{Ker}\, B,

atunci există un operator liniar continuu astfel încât . $C \colon E_2 \to E_1$ $A=CB$

Aici , este nucleul și este imaginea operatorului . Simbolic, afirmația lemei triple este reprezentată convenabil de următoarea schemă: [4] $\mbox{Ker}\, A$ $\mbox{Im}\,A$ $A$

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{ \mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}

Note

↑ Helemsky A. Ya. Operator liniar // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 159.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , p. 227.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , p. 228.

Literatură

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. — Știința, cap. ed. Fiz.-Matematică. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională. - Ed. al 2-lea, revizuit .. - M . : Nauka, 1965. - 520 p.
Weinberg M. M. Analiză funcțională. - M .: Educaţie, 1979. - 128 p.