Formule Vieta

Formulele Vieta sunt formule care leagă coeficienții unui polinom și rădăcinile acestuia .

Este convenabil să folosiți aceste formule pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a compune un polinom din rădăcini date.

Aceste identități sunt implicite în opera lui François Vieta . Cu toate acestea, Viet a considerat doar rădăcini reale pozitive, așa că nu a avut ocazia să scrie aceste formule într-o formă generală. [1] :138-139

Formulare

Dacă sunt rădăcinile polinomului $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n)

(fiecare rădăcină este luată corespunzător cu multiplicitatea ei numărului de ori), apoi coeficienții sunt exprimați ca polinoame simetrice din rădăcinile [2] , și anume: $a_{1},\ldots ,a_{n}$

{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{ 2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_ {3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{ n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_ {1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(- 1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}

Cu alte cuvinte, este egal cu suma tuturor produselor posibile din rădăcini. $(-1)^{k}a_{k)$ $k$

Corolar : din ultima formulă a lui Vieta rezultă că, dacă rădăcinile unui polinom sunt întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este de asemenea întreg.

Dacă coeficientul de conducere al polinomului nu este egal cu unu:

a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},

apoi pentru a aplica formula Vieta, trebuie mai întâi să împărțiți toți coeficienții cu (acest lucru nu afectează valorile rădăcinilor polinomului). În acest caz, formulele Vieta oferă o expresie pentru rapoartele tuturor coeficienților la cel mai mare: $a_{0}$

{\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{ k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.

Dovada

Demonstrarea se realizează luând în considerare egalitatea obţinută prin extinderea polinomului în termeni de rădăcini, ţinând cont că $a_{0}=1$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})( x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).

Echivalând coeficienții la puteri egale ( teorema unicității ), obținem formulele lui Vieta. $X$

Exemple

Ecuație cuadratică

Dacă și sunt rădăcinile ecuației pătratice , atunci $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a)),\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a }}.\end{cazuri}}

Într-un caz particular, dacă (forma redusă ), atunci $a=1$ $x^{2}+px+q=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases))

Ecuație cubică

Dacă sunt rădăcinile ecuației cubice , atunci $x_{1},x_{2},x_{3}$ $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3 }+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{ cazuri}}

Variații și generalizări

Din demonstrația de mai sus se poate observa că formulele Vieta sunt obținute pur algebric din proprietățile de adunare și înmulțire. Prin urmare, ele sunt aplicabile polinoamelor cu coeficienți dintr-un domeniu de integritate arbitrar dacă coeficientul de conducere al polinomului este egal cu unu și rădăcinile sunt situate în închiderea algebrică a câmpului de coeficienti pt . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $\mathbb {K} .$

Dacă coeficienții unui polinom sunt luați dintr-un inel comutativ arbitrar care nu este un domeniu de integritate (adică are divizori zero ), atunci formulele Vieta, în general, nu sunt valabile. De exemplu, luați în considerare inelul de reziduuri modulo 8 și polinomul . Are nu două, ci patru rădăcini în acest inel: Prin urmare, descompunerea în factori liniari utilizați în demonstrație, al căror număr este egal cu numărul de rădăcini, nu nu au loc, iar formula Vieta, deoarece este ușor de verificat, sunt incorecte. $\mathbb {K}$ $P(x)=x^{2}-1.$ $1,3,5,7.$

Vezi și

Note

↑ Florian Cajori. O istorie a matematicii. — ediția a 5-a. — 1991.
↑ Algebra polinoamelor, 1980 , p. 26-28.

Literatură

Vinberg E. B. Algebra polinoamelor. Un manual pentru studenții cu frecvență redusă ai cursurilor III-IV ale facultăților de fizică și matematică ale institutelor pedagogice. - M . : Educație, 1980.
Formulele lui Weisstein, Eric W. Vieta / Din MathWorld --A Wolfram Web Resource
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Teorema Viète” (link indisponibil) , Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză)
Funkhouser, H. Gray (1930), „A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”, American Mathematical Monthly (Asociația Matematică din America) 37 (7): 357-365, doi:10.2307/2299273 , JSTOR 2299273 _