Teorema unității lui Dirichlet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 mai 2021; verificările necesită 2 modificări .

Teorema unității lui Dirichlet este o teoremă în teoria numerelor algebrice care descrie rangul unui subgrup de elemente inversabile (numite și unități ) ale inelului de numere întregi algebrice ale unui câmp numeric . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

Formulare

Fie un câmp numeric (adică o extensie finită a lui ) și fie inelul său de numere întregi. Atunci rangul grupului de elemente inversabile este egal cu , unde este numărul de înglobări diferite în câmpul numerelor reale și este numărul de perechi de înglobări diferite conjugate complexe în care nu sunt pur reale. $K$ $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $d=r+s-1$ $r$ $K$ $\mathbb {R}$ $s$ $\mathbb {C}$

Note

Cu alte cuvinte, există unități în inelul câmpului de grade astfel încât fiecare unitate este reprezentată în mod unic ca ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $n=r+2s$ $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

unde sunt numere întregi și este o rădăcină a lui 1 conținută în

a_{1},...,a_{d)

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

Unitățile a căror existență este stabilită de teorema lui Dirichlet sunt numite unități de bază ale inelului . $\varepsilon _{1},\dots,\varepsilon _{d)$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Dacă , unde este rădăcina unui polinom ireductibil având rădăcini , atunci încorporarea este reală dacă și numai dacă este o rădăcină reală a ecuației . $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta$ $f(x)$ $\theta _{1},...,\theta _{n}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta)\la \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x)=0$

Schema de probă

Prin presupunere, există izomorfisme reale și izomorfisme complexe . Pentru demonstrare, elementele câmpului sunt prezentate în două spații: liniar și logaritmic . $r$ $\sigma _{1},...,\sigma _{r)$ $2s$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{ r+s}$ $L$ $A$

$L$ - spațiu de rânduri de forma , unde cu adunare și înmulțire pe componente. Să definim ca , încorporarea este injectivă . Imaginea câmpului este o anumită rețea discretă - un set de elemente de formă , unde , și - o anumită bază a rețelei. $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$ $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ $x:K\la L$ $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $K$ $a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n)$ $a_{j}\in \mathbb {Z}$ $e_{i}$

Spațiul este aranjat astfel: , , , . - Transformă înmulțirea în adunare. Dacă este norma , atunci . $A$ $l:L\to A$ $l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ $l(xy)=l(x)+l(y)$ $N(\alpha )$ $\alfa$ $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

În plus, se consideră grupul de unități (elemente reversibile) ale câmpului . O mulțime este o grupare prin înmulțire. Dacă , atunci , adică mulțimea este mărginită, ceea ce înseamnă că este finită, ceea ce înseamnă că este formată din rădăcini de la 1 și este un subgrup de . Dacă este o unitate arbitrară, atunci , , . Această ecuație definește un hiperplan de dimensiune . Imaginea este o rețea în , deoarece este un grup prin adunare și este discretă ca imagine continuă a unei rețele discrete . $E$ $K$ $W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\)$ $l(\alpha )=0$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ $x(W)$ $W$ $E$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon )=1$ $\ln |N(\varepsilon )|=0$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $A$ $l(x(E))$ $x(E)$

Astfel, orice unitate , este rădăcina lui 1, . Rămâne de demonstrat că rangul este exact , sau că este o rețea completă în . O rețea în spațiu este completă dacă și numai dacă există o mulțime mărginită în spațiu ale cărei deplasări de către toți vectorii rețelei umplu complet întregul spațiu. Dovada folosește lema corpului convex a lui Minkowski . Setul este luat ca corp al lemei . Volumul său este de . Aplicarea lemei Minkowski dă următorul corolar: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $E$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Dacă volumul paralelipipedului principal acoperit de vectorii de bază ai rețelei este egal și numerele sunt astfel încât , atunci există un vector diferit de zero în rețea astfel încât . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $X$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

Pentru orice , avem . Notă - un hiperplan paralel cu . Fie - fi arbitrar, și . Dacă - este suficient de mare, atunci , și, prin urmare, după corolarul de mai sus din lema Minkowski, există astfel încât , adică , , . $\alpha:N(\alpha)<Q,\alpha \neq 0$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda ))^{0}\in {\mathcal {I)}$ $c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k)$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ $N(\alpha )<Q$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Să desemnăm pentru setul arbitrar menționat mai sus ca . Este clar că toate seturile sunt mărginite. , adică se obţine prin deplasare de către vector $\alpha :N(\alpha )<Q$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha \varepsilon}=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$ $Y_{\alpha \varepsilon }$ $Y_{\alpha }$ $l(\varepsilon )$

Există doar un număr finit de numere perechi neasociate , ale căror norme sunt mai mici decât în valoare absolută , adică dacă , atunci pentru o unitate . Deoarece acopera toate , și , înseamnă că deplasările mulțimii mărginite de toți vectorii vor acoperi toți . Aceasta înseamnă că deplasările mulțimii mărginite de către toți vectorii vor acoperi totul , ceea ce demonstrează teorema. ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$ $Q$ $N(\alpha )<Q$ $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ $\varepsilon$ $Y_{\alpha }$ $\mathcal{I}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\cup ...\cup Y_{\alpha _{N}}$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{I}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{L}$

Variații și generalizări

Deoarece extinderea gradului n satisface , atunci , iar egalitatea este valabilă dacă și numai dacă toate înglobările în cele pur reale. $r+2s=n$ $d\leqslant n-1$ $K$ $\mathbb {C}$

Grupul de unități ale câmpului este epuizat de rădăcini de la 1 dacă și numai dacă , i.e. pentru și pentru este o extensie pătratică imaginară. În toate celelalte cazuri, există întotdeauna cel puțin o unitate de bază. $r+s=1$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

Existența unor soluții întregi netriviale ale ecuației lui Pell este derivată din această teoremă aplicată unei extensii pătratice a lui . $x^{2}-my^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m))}$ $\mathbb {Q}$

Cazul grupului de elemente inversabile de rang maxim este legat de [1] fracțiilor continuate multidimensionale .

Literatură

↑ V. I. Arnold. Fracții înlănțuite . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Arhivat pe 8 iulie 2011 la Wayback Machine

Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. - M . : Mir, 1987. - S. 237.
Borevici Z.I., Şafarevici I.R. Teoria numerelor . - M . : Nauka, ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985. - P. 131 .