Element reversibil

Un element inversabil este un element al inelului cu unitate pentru care există un element invers față de înmulțire. Un alt nume este divizor de unitate . De asemenea, în principal în traducerile din engleză, se găsește denumirea unit , care poate provoca confuzii cu un singur element (în sursele englezești se folosesc doi termeni diferiți: element element și Identity element [1] ).

Cu alte cuvinte, se spune că un element al unui inel este inversabil dacă există un element astfel încât $A$ $b$

ab=ba=e,

unde este elementul de identitate al inelului. $e$

Mulțimea tuturor elementelor inversabile ale unui inel formează un grup multiplicativ , numit grupul elementelor inversabile (mai puțin frecvent , grupul celor ). Acest grup este întotdeauna nevid, deoarece conține cel puțin identitatea inelului.

Elemente asociate

Dacă este un element inversabil, atunci elementele reprezentabile ca sau sunt numite asociate cu . $A$ $a\cdot x$ $x\cdot a$ $X$

De obicei, termenul de divizor de unitate și conceptul de element asociat sunt folosite pentru zonele de integritate .

Grup de unități

Elementele inversabile ale inelului R formează prin înmulțire grupul U ( R ), grupul unitar al inelului R. Alte simboluri comune sunt R × , R * și E ( R ) (din germanul Einheit ).

Într -un inel comutativ R , grupul unitar U ( R ) acţionează asupra lui R prin multiplicare. Orbitele acestor acțiuni sunt numite mulțimi de elemente asociate ; cu alte cuvinte, există o relație de echivalență ~ pe R numită asociere , unde

r ~ s

înseamnă că există o unitate u astfel încât r = us .

Se poate arăta că U este un functor din categoria inelelor la categoria grupelor : fiecare homomorfism inel f : R → S generează un homomorfism de grup U ( f ) : U ( R ) → U ( S ) deoarece f mapează unitățile la unități.

Un inel R este un inel dacă și numai dacă U ( R ) = R \{0}.

Exemple

Există doi divizori de unități în inelul numerelor întregi : +1 și -1.
În inelul de resturi modulo m , elementele inversabile sunt resturi coprime cu modulo m . Ele formează grupul multiplicativ al inelului rezidual .
Există patru divizori de unități în inelul numerelor întregi gaussiene : . $+1,\-1,\i,\-i$
Într-un inel polinomial peste un câmp, orice element diferit de zero al câmpului coeficient (ca polinom de grad zero) este un divizor al unității.

Note

↑ Comparare Unit divisor Arhivat 19 decembrie 2021 la Wayback Machine și Unital Ring Arhivat 19 decembrie 2021 la Wayback Machine

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1967.