Teorema de continuitate a lui Levi

Teorema lui Levi în teoria probabilității este un rezultat care leagă convergența punctual a funcțiilor caracteristice ale variabilelor aleatoare cu convergența acestor variabile aleatoare în distribuție .

Formulare

Fie o succesiune de variabile aleatoare care nu sunt neapărat definite pe același spațiu de probabilitate . Să notăm funcția caracteristică a variabilei aleatoare , unde , prin simbolul . Atunci dacă prin distribuție la , și este funcția caracteristică a , atunci $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X_n$ $n\în \mathbb {N}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_{n}\la X$ $n\la\infty$ $\varphi (t)$ $X$

\varphi _{n}(t)\la \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R}

În schimb, dacă , unde este o funcție a unui argument real continuă la zero, atunci este o funcție caracteristică a unei variabile aleatoare și $\varphi _{n}(t)\la \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi \in C(0)$ $\varphi (t)$ $X$

X_{n}\la X

prin distributie la .

n\la\infty

Notă

Deoarece funcția caracteristică a oricărei variabile aleatoare este continuă la zero, a doua afirmație are următoarea consecință banală. Dacă , unde este funcția caracteristică a , și este funcția caracteristică a , atunci conform distribuției la . Folosirea acestui fapt pentru a demonstra convergența în distribuție este uneori numită metoda funcțiilor caracteristice . Metoda funcțiilor caracteristice este modalitatea standard de demonstrare a teoremei limitei centrale clasice . $\varphi _{n}(t)\la \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_n$ $\varphi (t)$ $X$ $X_{n}\la X$ $n\la\infty$

Teorema de continuitate a lui Levi

Formulare

Notă

Vezi și