Teorema lui Myers

Teorema lui Myers este o teoremă clasică în geometria riemanniană .

Formulare

Dacă curbura Ricci a unei varietăți Riemanniane dimensionale complete este mărginită mai jos de o valoare pozitivă pentru unele , atunci diametrul acesteia nu depășește . Mai mult, dacă diametrul este , atunci colectorul în sine este izometric la o sferă cu curbură în secțiune constantă . $n$ $M$ $(n-1)k$ $k$ $\pi /{\sqrt {k)}$ $\pi /{\sqrt {k)}$ $k$

Consecințele

Acest rezultat rămâne valabil pentru acoperirea universală a unei astfel de varietăți riemanniene . În special, învelișul universal este acoperit cu foi finite și, prin urmare , grupul fundamental este finit. $M$ $M$ $\pi _{1}M$

Istorie

Pentru suprafețele bidimensionale, teorema a fost demonstrată de Hopf și Rinow. [unu]

Teorema este uneori numită după Ossian Bonnet din cauza celuilalt rezultat al clasificării suprafețelor cu curbură Gaussiană pozitivă, [2] (acest rezultat nu este direct legat de afirmația teoremei lui Myers).

Teorema a fost demonstrată de Myers . [3]

Cazul de egalitate din teoremă a fost demonstrat de Cheng în 1975. [patru]

Vezi și

Teorema de compactitate Gromov (geometrie riemanniană)

Note

↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (germană) Comentariu. Matematică. Helv. 3 (1931), nr. 1, 209-225.
↑ Bonnet, Ossian. „Sur quelques proprietes des lignes geodeziques.” CR Acad. sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
↑ Myers, S. B. (1941), Varietăți riemanniene cu curbură medie pozitivă , Duke Mathematical Journal vol . 8(2): 401–404 , DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3
↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), Eigenvalue comparison theoremes and its geometric applications , Mathematische Zeitschrift T. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01214381