Teorema spațiului coeficient a lui Moore

Teorema spațiului coeficient a lui Moore, o afirmație clasică a topologiei bidimensionale, oferă o condiție suficientă ca spațiul coeficient al unei sfere să fie homeomorf unei sfere bidimensionale.

Dovedit de Robert Moore în 1925 .

Formulări

Să fie o mapare surjectivă continuă a unei sfere bidimensionale pe un spațiu Hausdorff . Să presupunem că pentru orice punct preimaginea , precum și complementul ei, sunt conectate . Atunci este homeomorf , în plus, maparea este limita homeomorfismelor . $f\colon \mathbb {S} ^{2}\la X$ $\mathbb {S} ^{2}$ $X$ $x\în X$ $f^{-1}\{x\)$ $\mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\}$ $X$ $\mathbb {S} ^{2}$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\la X$ $f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\la X$

Note

O formulare echivalentă a teoremei este dată în limbajul relației de echivalență pe . Maparea definește o relație de echivalență pe , definită ca $\mathbb {S} ^{2}$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\la X$ $\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$

x\sim y\iff f(x)=f(y).

Clasele de echivalență formează o familie semicontinuă de mulțimi închise. Adică dacă , și pentru orice , atunci . $[x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\)$ $x_{n}\la x$ $y_{n}\la y$ $x_{n}\sim y_{n)$ $n$ $x\sim y$

Dacă este o relație de echivalență cu clase de echivalență închise semicontinue, astfel încât și pentru orice mulțime și sunt conectate , atunci spațiul coeficient este homeomorf . $\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$ $X$ $[X]$ $\mathbb {S} ^{2}\backslash [x]$ $\mathbb {S} ^{2}/\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$

Variații și generalizări

În dimensiunile superioare necesare existenței unui homeomorfism apropiat, suprajecția dintr-o varietate într-un spațiu Hausdorff trebuie să fie celulară . Aceasta înseamnă că pentru orice punct și orice set deschis care conține pre-imagine , se poate găsi un set închis , homeomorf unei mingi, astfel încât . $f\colon M\la X$ $M$ $X$ $x\în X$ $U$ $f^{-1}\{x\)$ $B$ $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$

Literatură

RL Moore. Referitor la colecțiile superioare-semicontinue de continua (engleză) // Trans. amer. Matematică. Soc.. - 1925. - Vol. 25 . — P. 416–428 .
Daverman, Robert J. Descompoziții de varietăți. - Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. - xii + 317 p. — (Matematică pură și aplicată, 124). - ISBN 978-0-8218-4372-7 .