Teorema lui Pick (analiza complexă)

Teorema lui Pick , sau teorema lui Schwarz - Pick , este o formulare invariantă și o generalizare a lemei lui Schwarz .

Formulare

Fie o funcție analitică obișnuită de la cercul unitar la cercul unitar $w=f(z)$

Q=\left\{z\in \mathbb {C}:|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

Apoi, pentru orice puncte și un cerc , distanța în modelul euclidian conform al planului Lobachevsky dintre imaginile lor nu depășește distanța dintre ele: $z_{1}$ $z_{2}$ $Q$

d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})

Mai mult, egalitatea se realizează numai atunci când există o funcție liniară-fracțională care mapează cercul pe el însuși. $w=f(z)$ $Q$

Pentru că

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|zw\right|}{\left |1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},

condiție

d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})

este echivalentă cu următoarea inegalitate:

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1)))))f(z_{2}) } }\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1))}z_{2}\right| } }.

Dacă și sunt infinit aproape, se transformă în $z_{1}$ $z_{2}$

{\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2))}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z \right|^{2}}}.

Alegeți G. Mathematische Annalen. - 1916. - Bd 77. - S. 1-6.
Goluzin GM Teoria geometrică a funcţiilor unei variabile complexe . - Ed. a II-a. - M., 1966.