Teorema Tonelli-Fubini

Teorema Tonelli - Fubini în analiza matematică , teoria probabilității și disciplinele conexe reduce calculul integralei duble la cele repetate.

Formulare

Să fie date două spații cu măsuri -finite $\sigma$ . Se notează după produsul lor . Fie ca funcția să fie integrabilă în raport cu măsura . Apoi $\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ $\left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{ 1}\uneori \mu _{2}\right)$ $f\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb{R}$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$

functia este definita -aproape peste tot si integrabila fata de ; $x_{1}\la \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_ {2}\dreapta)$ $\mu_{1}$ $\mu_{1}$
functia este definita -aproape peste tot si integrabila fata de ; $x_{2}\la \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_ {1}\dreapta)$ $\mu_{2}$ $\mu_{2}$
sunt egalităţi

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left( dx_{1}\dreapta)

și

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left( dx_{2}\dreapta).

Cazuri speciale

Teoria probabilității

Fie spații de probabilitate și fie o variabilă aleatoare pe . Apoi $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb{R}$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otime {\mathbb {P}}_{2})$

{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{ {\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb { E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{1}}}[X]\right ],

unde indicele denotă măsura probabilității , în raport cu care este luată așteptarea matematică .

Analiză matematică

Fie funcția Riemann-integrabilă a două variabile dintr-un dreptunghi , adică . Apoi $f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb{R}$ $[a,\;b]\times [c,\;d]$ $f\in \mathbb{R} (D)$

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^ {d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f( x,\;y)\,dx\dreapta]\,dy,

unde integrala din partea stângă este bidimensională, iar restul sunt iterative unidimensionale. Se presupune că există integrale iterate.

Dovada

Orice partiție a unui set este obținută de unele partiții ale unui segment și segment , iar volumul oricărui dreptunghi este determinat de , unde sunt câteva segmente parțiale ale partițiilor. Apoi luați în considerare următoarele estimări integrale $\lambda$ $[a,\;b]\times [c,\;d]$ $\lambda _{{x}}$ $X=[a,\;b]$ $\lambda _{{y}}$ $[CD]$ $X_{{i}}\time Y_{{j}}$ $V\left(X_{{i}}\times Y_{{j}}\right)=\left|X_{{i}}\right|\cdot \left|Y_{{j}}\right|$ $X_{{i}},Y_{{j}}$

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)

și sumele integrale inferioare și superioare ale funcției și : Atunci, cu integrabilitatea față de , adică egalitatea din estimările de mai sus, integrala există și are aceeași valoare ca și ${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$ ${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$
${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\ ;y\în Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ stânga|Y_{j}\dreapta|\dreapta)\left|X_{i}\dreapta|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\ dreapta|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\ ;y\în Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ stânga|Y_{j}\dreapta|\dreapta)\left|X_{i}\dreapta|$
$f$ $X\ ori Y$ $\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda}\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ $(*)$ $\iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$

Vezi și

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică . - M . : Nauka Ediția principală de literatură fizică și matematică, 1984. - S. 131-138.