Produsul măsurilor

Produsul măsurilor în analiza funcțională , teoria probabilității și disciplinele conexe este o modalitate formală de a construi o măsură pe produsul cartezian a două spații cu măsuri.

Clădire

Fie două spații cu măsuri . Atunci este produsul cartezian al multimilor si . $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ $X_{1}\times X_{2)$ $X_{1}$ $X_{2}$

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ este o familie de submulțimi . În general, nu este închisă sub uniuni numărabile și, prin urmare, nu este o -algebră . Să introducem notația $X_{1}\times X_{2)$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F} } }_{2})

este algebra minimă care conține . Apoi este un spațiu măsurabil . Definim o măsură pe aceasta după cum urmează: $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.

Apoi continuă în mod unic de la până la : $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\ mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\ mu _{1}(dx_{1}),

Unde

A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

este o secțiune de -a lungul , și

A

x_{2}\in X_{2}

A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

- secţiune de-a lungul .

A

x_{1}\in X_{1}

Măsura rezultată se numește produsul măsurilor și . Spațiul de măsură se numește produsul (direct) al spațiilor originale. $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \ mu_{2})$

Note

Dacă sunt două spații de probabilitate , atunci se numește produsul lor. $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otime {\mathbb {P}}_{2})$
Dacă sunt variabile aleatoare , atunci sunt distribuțiile pe și , respectiv, și este distribuția pe vectorul aleator . Dacă sunt independente , atunci $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y)$ $\mathbb {R}$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top ))$ $X Y$