Teorema lui Thales asupra segmentelor proporționale

Teorema lui Thales este o teoremă de planimetrie pe o mulțime de secante paralele la o pereche de drepte.

Formulări

Dacă pe una dintre cele două drepte sunt așezate deoparte mai multe segmente succesive egale și prin capetele lor sunt trasate linii paralele care intersectează a doua linie dreaptă, atunci acestea vor tăia segmente egale între ele pe a doua linie dreaptă.

O formulare mai generală, numită și teorema segmentului proporțional

Secantele paralele formează segmente proporționale pe linii drepte :

{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}= {\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.

Note

Nu există restricții privind aranjarea reciprocă a secantelor în teoremă (este adevărat atât pentru drepte care se intersectează, cât și pentru cele paralele). De asemenea, nu contează unde sunt segmentele de linie.

Teorema Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Dovada în cazul liniilor neparalele

Luați în considerare o variantă cu perechi de segmente neconectate: să fie intersectat unghiul de linii drepte și în același timp . $AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$ $AB=CD$

Desenați prin puncte și linii drepte paralele cu cealaltă parte a unghiului. și . Conform proprietății paralelogramului: și . $A$ $C$ $AB_{2}B_{1}A_{1}$ $CD_{2}D_{1}C_{1}$ $AB_{2}=A_{1}B_{1}$ $CD_{2}=C_{1}D_{1}$
Triunghiurile și sunt egale pe baza celui de-al doilea test pentru egalitatea triunghiurilor $\bigtriangleup ABB_{2}$ $\bigtriangleup CDD_{2}$

Dovada în cazul dreptelor paralele

Să desenăm o linie BC . Unghiurile ABC și BCD sunt egale ca cruci interioare situate sub liniile paralele AB și CD și secante BC , iar unghiurile ACB și CBD sunt egale ca cruci interioare situate sub liniile paralele AC și BD și secante BC . Apoi, conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiurile ABC și DCB sunt congruente. Rezultă că AC = BD și AB = CD . ■

Istorie

Această teoremă este atribuită matematicianului și filosofului grec Thales din Milet . Potrivit legendei, Thales din Milet a calculat înălțimea piramidei lui Keops măsurând lungimea umbrei acesteia pe pământ și lungimea umbrei unui baston de înălțime cunoscută. Cea mai veche demonstrație scrisă cunoscută a acestei teoreme este dată în Principia lui Euclid (Propoziția 2 din Cartea VI).

Variații și generalizări

Teorema inversă

Dacă în teorema Thales segmente egale încep de la vârf (această formulare este adesea folosită în literatura școlară), atunci teorema inversă se va dovedi a fi adevărată. Pentru secantele care se intersectează, se formulează după cum urmează:

Dacă liniile care intersectează alte două linii (paralele sau nu) taie segmente egale (sau proporționale) pe ambele, pornind de la vârf, atunci aceste linii sunt paralele.

Astfel (vezi Fig.) din faptul că , rezultă că . ${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$ $A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$

Dacă secantele sunt paralele, atunci este necesar să se ceară ca segmentele de pe ambele secante să fie egale între ele, în caz contrar, această afirmație devine falsă (un contraexemplu este un trapez intersectat de o dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor).

Această teoremă este folosită în navigație: o coliziune a navelor care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă se menține direcția de la o navă la alta.

Lema lui Sollertinsky

Următoarea afirmație este duală cu lema lui Sollertinsky :

Fie o corespondență proiectivă între punctele dreptei și ale dreptei . Apoi, mulțimea de drepte va fi mulțimea de tangente la o secțiune conică (posibil degenerată) . $f$ $l$ $m$ $Xf(X)$

În cazul teoremei Thales, conica va fi un punct la infinit corespunzător direcției dreptelor paralele.

Această afirmație, la rândul său, este un caz limitativ al următoarei afirmații:

Fie o transformare proiectivă a unei conice. Atunci învelișul setului de linii va fi o conică (eventual degenerată). $f$ $Xf(X)$

În cultură

Grupul argentinian de muzică de comedie Les Luthiers a prezentat un cântec dedicat teoremei [1] ;

Yoshikage Kira din manga JoJo's Bizarre Adventure a folosit o teoremă în mijlocul unei lupte pentru a calcula distanța până la o țintă.

Vezi și

Teorema lui Thales asupra unui unghi bazat pe diametrul unui cerc

Note

↑ Les Luthiers, Teorema de Thales, Aqui Les Luthiers pe YouTube

Literatură

Geometrie după Kiselyov , § 188.

Atanasyan L. S. și colab., Geometrie 7-9. - Ed. al 3-lea. - M . : Educație, 1992.