Lema lui Sollertinsky

Lema lui Sollertinsky este o afirmație a geometriei proiective .

Să fie un punct arbitrar și să fie o transformare proiectivă. Atunci mulțimea punctelor de intersecție și , unde este linia care trece prin , este conica care trece prin puncte și $P$ $f$ $l$ $f(l)$ $l$ $P$ $P$ $f(P).$

Dovada

Fie , , drepte care trec prin punctul , , , sunt punctele de intersecție și , și , și . Cinci puncte , , , , definesc o conică , în plus, singura. Fie al doilea punct de intersecție al dreptei care trece prin , cu această conică, , și punctul de intersecție al dreptei cu această conică, . Atunci următoarele rapoarte duble sunt egale : . Prin urmare, , adică drepte și se intersectează pe aceeași conică. Datorită arbitrarului alegerii liniei $A$ $b$ $c$ $P$ $A$ $B$ $C$ $A$ $fa)$ $b$ $f(b)$ $c$ $f(c)$ $A$ $B$ $C$ $P$ $f(P)$ $d$ $P$ $D'$ $f(d)$ $D''$ $(A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C, D'')$ $D'=D''$ $d$ $f(d)$ $d$ toate aceste puncte de intersecție se află pe el, după cum este necesar.

Istorie

Lema este numită după matematicianul din Sankt Petersburg N. Sollertinsky, care a folosit-o pentru a demonstra teorema Sonda în 1896 . [1] De fapt, această afirmație era cunoscută înainte de Sollertinsky; i se atribuie şi lui Jacob Steiner .

Cazuri speciale și consecințe

Dacă este o mișcare a planului care păstrează orientarea figurilor, atunci conica rezultată va fi un cerc. Aceasta este echivalentă cu teorema unghiului înscris . $f$
Dacă - mișcarea planului, schimbând orientarea figurilor, atunci conica rezultată va fi o hiperbolă echilaterală . Aceasta rezultă din faptul că conica descrisă trece prin ortocentrul triunghiului dacă și numai dacă este o hiperbolă echilaterală. $f$
Afirmația duală la lema Sollertinskii este următoarea:

Fie o linie arbitrară și o transformare proiectivă. Atunci toate dreptele pe care se află un punct sunt tangente la tangenta conică la drepte și $l$ $f$ $Pf(P)$ $P$ $l$ $l$ $f(l).$

Să fie construite triunghiuri isoscele similare , , , pe laturile unui triunghi arbitrar față de latura exterioară (interioară) . Apoi, liniile , , se intersectează într-un punct situat pe hiperbola circumscrisă care trece prin centroid și ortocentru , hiperbola Kiepert . $ABC$ $ABC'$ $ACB'$ $BCA'$ $AA'$ $BB'$ $CC'$
Dacă două triunghiuri sunt ortologe și centrele ortologiei coincid, atunci ele sunt promițătoare.
- Sollertinsky a folosit această afirmație în demonstrarea teoremei lui Sond.
- De asemenea, implică faptul că, dacă două triunghiuri sunt polare , atunci ele sunt perspectivă.

Note

↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, completată .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 p. - ISBN 978-5-94057-732-4 .