Ipoteza lui Mordell

Conjectura lui Mordell este o presupunere despre caracterul finit al mulțimii de puncte raționale pe o curbă algebrică a genului , prezentată de Louis Mordell în 1922. Conjectura a fost mai târziu generalizată de la câmpul numerelor raționale la un câmp de numere arbitrare . A fost demonstrată de Gerd Faltings în 1983 și acum este numită și teorema lui Faltings . $g>1$ $\mathbb {Q}$

Fundal

Fie o curbă algebrică non- singulară peste câmpul . Setul de puncte raționale ale unei curbe depinde de genul acesteia , după cum urmează: $C$ $\mathbb {Q}$ $C$ $g$

Caz : nu există puncte raționale, sau există infinit multe dintre ele; este o secțiune conică . $g=0$ $C$
Caz : nu există puncte raționale sau este o curbă eliptică , iar punctele sale raționale formează un grup abelian finit generat . Aceasta rezultă din lui Mordell , generalizată mai târziu la Mordell-Weyl Mai mult, teorema de torsiune a lui Mazur limitează structura posibilă a unui subgrup de torsiune. $g=1$ $C$
Caz : conform conjecturii lui Mordell, poate avea doar un număr finit de puncte raționale. $g>1$ $C$

Dovada

În 1962, Șafarevici a presupus că, până la izomorfism, setul de curbe algebrice având un gen dat , un câmp de definiție și un set de puncte de reducere proastă este finit . În 1968, Parshin a arătat cum conjectura lui Mordell poate fi redusă la conjectura de finititate declarată a lui Shafarevich. $g>1$ $K$ $S$

În 1983, Faltings a dovedit conjectura lui Shafarevich de finisare folosind metoda binecunoscută de reducere a conjecturei la cazul și instrumentele geometriei algebrice inclusiv teoria modelului

O altă dovadă bazată pe aproximări diofantine a fost dată Vojta Mai târziu a fost simplificată de Faltings și Enrico Bombieri .

Consecințele

Faltings, în lucrarea sa din 1983, a dovedit câteva afirmații care au fost considerate anterior ipoteze:

Conjectura lui Mordell că o curbă a genului mai mare decât 1 peste un câmp numeric are doar un număr finit de puncte raționale.
Conjectura lui Shafarevici despre existența doar a unui set finit, până la izomorfism, de varietăți abeliene de dimensiuni și grad de polarizare date peste un câmp numeric fix, care au o reducere bună peste tot în afara unui set finit dat de puncte ale acestui câmp.
Teorema de izogenie pentru soiurile abeliene cu module Tate izomorfe.

Cea mai simplă aplicare a teoremei lui Faltings este o formă slabă a ultimei teoreme a lui Fermat : pentru oricare aleasă , există doar un număr finit de soluții coprime ale ecuației , deoarece pentru astfel de n curba Fermat are un gen mai mare decât 1. $n\geq 4$ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $x^{n}+y^{n}=1$

Generalizări

În virtutea teoremei Mordell-Weyl , teorema Faltings poate fi reformulată ca o afirmație despre intersecția unei curbe cu un subgrup finit generat dintr- o varietate abeliană . Înlocuind cu o subvarietate arbitrară și cu un subgrup arbitrar de rang finit , obținem o generalizare care conduce la conjectura Mordell-Leng , care a fost demonstrată. $C$ $\Gamma$ $A$ $C$ $A$ $\Gamma$ $A$

O altă generalizare a teoremei lui Faltings este Conjectura Bombierri-Leng , care afirmă că dacă este o varietate pseudocanonică (adică o varietate de tip general) peste un câmp finit , atunci mulțimea de puncte raționale nu este nicăieri densă în topologia Zariski. de . Alte generalizări ale ipotezei au fost propuse de Paul Vojta. $X$ $k$ $k$ $X(k)$ $X$

Conjectura lui Mordell pentru câmpurile de funcții a fost demonstrată de Manin în 1963 și de Grauert în 1965. Coleman în 1990 a găsit și a corectat o lacună în demonstrația lui Manin.

Literatură

Mordell, LJ Despre soluțiile raționale ale ecuațiilor nedeterminate de gradul al treilea și al patrulea . Cambr. Phil. soc. Proc. 21, 179-192 (1922).
Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell . Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), nr. 1, 1-13.
A. Yu. Weintrob, A. B. Sosinsky. „Dovada conjecturii Mordell” . - Kvant , 1984. - Nr. 3 .
Ian Stewart . Cele mai mari probleme de matematică. — M. : Alpina non-fiction, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Link -uri

Bombieri, Enrico. Conjectura Mordell revizuită // Ann. Scuola Norm. Cina. Pisa Cl. Sci.. - 1990. - V. 17 , nr 4 . - S. 615-640 .
Coleman, Robert F. Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. Seria II: jurnal. - 1990. - Vol. 36 , nr. 3 . - P. 393-427 . — ISSN 0013-8584 . Arhivat din original pe 2 octombrie 2011. . - „ Șablon:Citate inconsecvente ”. Arhivat pe 2 octombrie 2011 la Wayback Machine
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Geometrie aritmetică. - New York: Springer, 1986. - ISBN 0-387-96311-1 . > Conține o traducere în engleză a lui Faltings (1983)
Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (germană) // Inventiones Mathematicae : magazin. - 1983. - Bd. 73 , nr. 3 . - S. 349-366 . - doi : 10.1007/BF01388432 .
Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (germană) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. - 1965. - Nr. 25 . - S. 131-149 . — ISSN 1618-1913 . . - „ Șablon:Citate inconsecvente ”.
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Geometrie diofantină. - Springer-Verlag , 2000. - Vol. 201. - ( Texte de absolvent în matematică ). — ISBN 0-387-98981-1 . > Oferă dovada lui Vojta a teoremei lui Falting.
S. Lang . Studiul geometriei diofantine . - Springer-Verlag , 1997. - S. 101 -122. — ISBN 3-540-61223-8 .
Manin, Ju. I. Puncte raționale ale curbelor algebrice peste câmpuri funcționale (engleză) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya: jurnal. - 1963. - Vol. 27 . - P. 1395-1440 . — ISSN 0373-2436 . . - „ Șablon:Citate inconsecvente ”.
Mordell, Louis J.Despre soluțiile raționale ale ecuației nedeterminate de gradul al treilea și al patrulea // Proc . Cambridge Philos. soc. : jurnal. - 1922. - Vol. 21 . - P. 179-192 . . - „”.
Parsin, AN Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Niza, 1970), Volumul 1. - Gauthier-Villars, 1971. - P. 467-471.
Parshin, AN (2001), M/m064910 , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4