Teorema patrulaterului inscripționat japonez

Teorema patrulaterului înscris japoneză afirmă că centrele cercurilor înscrise în anumite triunghiuri în interiorul unui patrulater înscris sunt vârfurile unui dreptunghi .

Împărțirea unui patrulater înscris arbitrar cu diagonale produce patru triunghiuri suprapuse (fiecare diagonală produce două triunghiuri). Centrele cercurilor înscrise în aceste triunghiuri formează un dreptunghi.

În special, fie □ ABCD un patrulater înscris arbitrar și fie M 1 , M 2 , M 3 , M 4 centrele cercurilor înscrise în triunghiuri △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . Atunci patrulaterul format din centrele M 1 , M 2 , M 3 , M 4 este un dreptunghi.

Dovada [1]

$\angle {AM_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAC}/2-\angle {ABC}/2=90^{\circ }+\angle {ACB}/2$ (deoarece este bisectoarea unghiului și este bisectoarea unghiului ) $AM_{2)$ $\angle {BAC}$ $BM_{2)$ $\angle {ABC}$

În mod similar, obținem $\angle {AM_{1}B}=180^{\circ }-\angle {ABD}/2-\angle {BAD}/2=90^{\circ }+\angle {BDA}/2$

Deoarece patrulaterul este înscris, avem , de unde rezultă că și patrulaterul este înscris într-un cerc, deci obținem $ABCD$ $\angle {ADB}=\angle {ACB}$ $\angle {AM_{1}M_{2}B}$ $\angle {M_{1}M_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAM_{1))=180^{\circ }-\angle {A}/2$

În mod similar, obținem $\angle {BM_{2}M_{3}}=180^{\circ }-\angle {C}/2$

Si in consecinta, $\angle {M_{1}M_{2}M_{3}}=360^{\circ }-(\angle {M_{1}M_{2}B}+\angle {BM_{2}M_ {3)))=(\unghi {A}+\unghi {C})/2=180^{\circ }/2=90^{\circ }$

În același mod dovedim și pentru alte unghiuri. Obținem că toate cele patru colțuri ale patrulaterului sunt corecte. Teoremă demonstrată

Rețineți că demonstrația acestei teoreme este ușor de generalizat la demonstrarea teoremei japoneze pentru poligoane înscrise (teorema japoneză pentru poligoane ciclice) .

Dovada unui poligon general înscris decurge imediat din cazul unui patrulater (prin inducerea numărului de triunghiuri dintr-o partiție a unui poligon).

Observație 1

Pentru un patrulater înscris , teorema patrulaterului înscris în japoneză face parte dintr-o declarație mai complexă:

În patrulaterul înscris ABCD , centrele cercurilor triunghiurilor ABC , BCD , CDA și DAB sunt vârfurile dreptunghiului , ortocentrii acelorași patru triunghiuri sunt vârfurile patrulaterului egal cu ABCD , centroizii acestor patru triunghiurile sunt vârfurile altui patrulater înscris [2] .

Vezi și

Literatură

Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: În căutarea teoremei japoneze (fișier postscript)
Teorema la Cut-the-Knot
Wataru Uegaki: „ Teorema japonezăの起源と歴史” (Despre originea și istoria teoremei japoneze). Buletin departamental, Colecțiile electronice academice ale Universității Mie, 2001-03-01
Wilfred Reyes: O aplicație a teoremei lui Thebault . Forum Geometricorum, Volumul 2, 2002, pp. 183–185
Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Comori ale Olimpiadei de Matematică. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .

Link -uri

Teoremă japoneză, demonstrație interactivă cu animație

↑ Andreescu, Enescu, 2004 , p. 45.
↑ Andreescu, Enescu, 2004 , p. 2.3 Cvadri ciclici.