Teoremele lui Kelvin

Conform teoremei Kelvin în hidrodinamică , ele înseamnă de obicei teorema principală a lui Kelvin , cu toate acestea, sunt cunoscute și alte două teoreme Thomson (Kelvin) .

Teorema mișcării de rotație a lui Kelvin

În 1849, William Thomson a demonstrat teorema energiei cinetice minime pentru un fluid:

dacă la granița unei regiuni pur și simplu conectate mișcarea vârtejului coincide cu mișcarea de rotație , atunci energia cinetică a mișcării de rotație în regiunea luată în considerare este mai mică decât energia cinetică a mișcării vortexului.

Dovada primei teoreme a lui Kelvin

Teorema lui Kelvin poate fi dovedită pe baza faptului că viteza în mișcarea irrotațională este potențială ( v = gradφ) și că divergența vitezei unui fluid incompresibil este zero, atât pentru mișcarea irrotațională, cât și pentru mișcarea vortexului. Într-adevăr, să fie Δ Ceva = Ceva să se învârtească. - Ceva fără vârtej. . Apoi, pentru diferența de energii cinetice, putem scrie:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

unde ρ este densitatea lichidului și τ este volumul lichidului . Luați în considerare în continuare doar prima integrală din dreapta:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau}\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

și, deoarece div(φ a ) = φ div a + gradφ a , integrala poate fi transformată după cum urmează:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau}\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatorname {div} \mathbf {V} )d\tau ,

unde σ este suprafața care limitează volumul τ, iar indicele n denotă componenta normală a vectorului. Din condițiile teoremei rezultă că pe suprafața σ mișcările vortex și de rotație coincid, adică ΔV = 0, de altfel, prin condiția de incompresibilitate div V = 0. Astfel, în ultima egalitate, toți termenii sunt egali cu zero și pentru diferența de energii cinetice rezultă:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

din care rezultă teorema Kelvin.

Teorema cinematică a lui Kelvin

Teorema cinematică a lui Kelvin face posibilă prezicerea comportamentului unui tub vortex în timp din punct de vedere pur cinematic. Formularea teoremei este următoarea:

derivata în timp parțial a circulației vitezei de-a lungul unui circuit lichid închis este egală cu circulația de accelerație de-a lungul aceluiași circuit.

Dovada celei de-a doua teoreme a lui Kelvin

Să calculăm derivata în timp parțial a circulației vitezei de-a lungul unui contur arbitrar C , fără a presupune mai întâi că acesta este închis.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ stânga({\frac {V^{2}}{2}}\dreapta).\end{aliniat}}

Evident, când circuitul este închis, ultima integrală va dispărea. În acest fel:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot { V}}).

Teorema fluidului barotrop a lui Kelvin

Teorema fluidului barotropic a lui Kelvin este numită și teorema fundamentală a lui Kelvin , care confirmă posibilitatea existenței mișcării de irotație:

când un fluid ideal barotrop se mișcă sub acțiunea forțelor potențiale, viteza de circulație într-un circuit închis de fluid nu se modifică.

Dovada celei de-a treia teoreme a lui Kelvin

Teorema se demonstrează cu ușurință pe baza teoremei anterioare, înlocuind în partea dreaptă a expresiei accelerația în cazul forțelor potențiale : $\mathbf {\dot {V}}=-\operatorname {grad} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatorname {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

deci este o constantă. $\Gamma$

Teorema a fost formulată și demonstrată de W. Thomson în 1869 . Forma diferențială a teoremei lui Kelvin este ecuația vortex .

Literatură

Loytsyansky L.G. Mecanica lichidului și gazului. - Ed. a VII-a, Rev. - M . : Butarda, 2003. - 840 p. - (Clasice ale științei ruse). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I // Prelegeri de hidrodinamică teoretică. - M. : MIPT, 2003. - 188 p. — ISBN 5-7417-0222-8 .