Ecuația vortexului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 octombrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Ecuația vortexului (ecuația de evoluție a vortexului) este o ecuație diferențială parțială care descrie evoluția în spațiu și timp a unui vârtej a vitezei curgerii fluidului sau gazului . Vortexul de viteză ( vorticitatea ) este înțeles ca rotorul de viteză . Ecuația vortex este utilizată în hidrodinamică , hidrodinamică geofizică , hidrodinamică astrofizică și prognoza meteo numerică . ${\omega \equiv \operatorname {putrezire} ~v}\equiv \nabla \times v$

Ecuația vortexului pentru un fluid ideal

Un lichid (sau gaz) în care efectele asociate cu frecarea internă ( vâscozitatea ) și transferul de căldură sunt neglijabile se numește " ideal " . Dinamica unui fluid ideal se supune ecuației lui Euler [1] (1755). Dacă scriem această ecuație în absența forțelor externe în forma Gromeka-Lamb

\ {\frac {\partial v}{\partial t}}-[v\times [\nabla \times v]]=-{\frac {\nabla p}{\rho }}-\nabla \ stânga({\frac {v^{2}}{2}}\dreapta),

(unu)

unde este vectorul viteză, este presiunea, este densitatea, acceptăm condiția de incompresibilitate și aplicăm operația pe ambele părți ale acestei ecuații , ținând cont de proprietățile cunoscute ale acestui operator, apoi obținem ecuația vortex pentru un incompresibil ideal. fluid $\v$ $\p$ $\ {\rho )$ $\ \rho =\operatorname {const} ,(\nabla \cdot v)=0$ $\ \operatorname {putrezire}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=0\end{aliniat }}.$ (2)

Forma integrală a acestei ecuații corespunde teoremei Helmholtz-Kelvin privind conservarea vitezei de circulație într-un fluid barotrop [2] [3] . Ecuația (2) se numește ecuația Helmholtz .

Cu mișcarea fluidului irrotațional (numită și „potențial”) . Din ecuația (2) rezultă că dacă în momentul inițial de timp mișcarea este irrotațională, atunci va rămâne așa în viitor. $\ \omega =0$

Ecuația vortexului pentru un fluid vâscos incompresibil

Dacă în ecuația (1) luăm în considerare și forța de frecare internă ( vâscozitatea ), atunci în loc de ecuația (2) vom avea

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=\nu \Delta \ omega \end{aliniat}},$ (3)

unde este vâscozitatea cinematică [4] . $\nu$

Ecuația vortexului pentru un fluid baroclinic inviscid

Condiția pentru absența transferului de căldură (adică adiabaticitatea ) a curgerii unui fluid inviscid incompresibil este echivalentă cu condiția de constanță a entropiei (adică isentropia ) [1] . Dacă această restricție este abandonată, atunci ecuația (2) va fi înlocuită cu una mai generală

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega \ -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla) \cdot v)={\frac {1}{\rho ^{2))}\left[\nabla \rho \times \nabla p\right]\end{aliniat)),$ (patru)

tinand cont de efectul baroclinic . Partea dreaptă a acestei ecuații este zero dacă , adică dacă suprafața izopicnală este paralelă cu cea izobară. În caz contrar, produsul vectorial dintre gradientul de densitate și gradientul de presiune este diferit de zero, ceea ce duce la o modificare a vorticității datorită efectului baroclinicității. Efectul baroclinicității asupra evoluției unui vortex a fost stabilit de Wilhelm Bjerknes [5] [6] . Această ecuație a relevat rolul important al efectelor baroclinice în formarea și dezvoltarea turbiilor în atmosferă și ocean. $\ \nabla \rho \sim \nabla p$

Ecuația lui Friedmann

( Ecuația Friedmann există și în cosmologie. Vezi ecuația Friedmann ).

În general, mișcarea unui fluid newtonian respectă ecuațiile Navier-Stokes . Spre deosebire de forma de mai sus a ecuației Euler pentru un fluid incompresibil, aceasta ia în considerare efectele compresibilității și frecării interne. Aplicând operatorul diferenţial la ecuaţia Navier-Stokes , se obţine ecuaţia lui A. A. Fridman [7] [8] . $\ \operatorname {putrezire}$

$\\operatorname {cârmă} \omega ={\frac {1}{\rho ^{2)}}\left[\nabla \rho \times \nabla p\right]+\left[\nabla \times \left({\frac {f}{\rho }}\right)\right],$ (5)

unde este operatorul diferenţial Helmholtzian , este densitatea forţei de vâscozitate moleculară. $\\operatorname {cârmă} \omega \equiv {\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla)\omega -(\omega \cdot \nabla)v+\omega (\nabla \cdot v)$ $\ f$

Sensul hidrodinamic al lui Helmholtzian este că egalitatea înseamnă „înghețarea” unui câmp vectorial într-un fluid în mișcare, înțeles în sensul că fiecare linie vectorială a acestui câmp (adică linia tangentă la care în orice punct are direcția de vectorul în acest punct) este păstrat , adică este întotdeauna format din aceleași particule lichide și intensitatea tuburilor vortex (ai căror pereți constau din linii vortex), adică vectorul curge prin orice secțiuni ale acestor tuburi . , nu se modifica cu timpul [9] . $\ \operatorname {cârmă} \omega =0$ $\ \omega$ $\ \omega$ $\ \int \limits _{\sigma}(\omega \cdot d\sigma )$ $\ \omega$ $\ \sigma$

Influența gravitației nu schimbă forma ecuațiilor (2) - (5) deoarece această forță este potențială.

Ecuația Friedmann este ecuația de bază a hidrodinamicii geofizice. Se bazează pe teoria prognozei meteo numerice .

Ecuația vortexului pentru un fluid turbulent

Ecuația lui Friedmann se aplică și fluxurilor turbulente. Dar în acest caz, toate cantitățile incluse în el ar trebui înțelese ca fiind mediate (în sensul lui O. Reynolds ). Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că o astfel de generalizare nu este suficient de exactă aici. Ideea este că atunci când derivăm ecuația (5), nu am luat în considerare (din cauza micimii relative) vectorul densității impulsului turbulent , unde linia de suprafață este semnul mediei, iar liniuța este abaterea de la medie. Această împrejurare s-a manifestat prin faptul că ecuația Friedmann s-a dovedit a fi incapabilă să explice fenomenul ciclului index ( vascilație ), în care există un schimb barotrop reversibil de energie și moment unghiular între mișcările ordonate și turbulente. $\ S={\overline {\rho ^{'}v^{')))$

Să notăm cu — „vector viteză de transfer turbulent”. Desigur, cu toate acestea, neglijarea transportului turbulent în problemele hidrodinamicii geofizice și astrofizice duce la pierderea efectelor care se manifestă în procese lente, dar în curs de dezvoltare. Ecuația de evoluție a unui vârtej, liber de o astfel de limitare, a fost propusă de A. M. Kriegel [10] [11] : $\ c=S/\rho$ $\ \left|c\right|\ll \left|v\right|$

$\\operatorname {cârmă} \psi =\nabla \times \left[c\times \omega +c\left(\nabla \cdot c\right)+F\right]+{\frac {1}{ \rho ^{2}}}\left[\nabla \rho \times \left(\nabla p-\rho \nabla c^{2}\right)\right],$ (6)

unde este „ pseudovectorul vârtejului vitezei totale”, este densitatea forței totale de frecare (moleculară și turbulentă). Dacă efectele baroclinității și vâscozității sunt omise din această ecuație, atunci partea dreaptă rămâne, în general, diferită de zero. În acest caz, este ușor de arătat că teorema de conservare a circulației vitezei Helmholtz - Kelvin nu este valabilă , în ciuda faptului că debitul este barotrop . Această concluzie este o consecinţă a nepotenţialităţii „ densităţii forţei turbulente de Coriolis ” . În ecuația (6), a apărut un mecanism suplimentar care afectează evoluția vortexului, deschizând calea înțelegerii naturii ciclului indicelui . $\ \psi \equiv \nabla \times \left(v+c\right)$ $\ \rho F$ $\ 2\rho \left[c\times \omega \right]$

Literatură

↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics (Theoretical Physics. Vol. VI).—M.: Nauka.—1988.—736 p.— ISBN 5-02-013850-9 .
↑ Helmholtz H. Uber integralle der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbewegungen entsprechen // Crelle J.—1858.— 55 .
↑ Thomson W. On vortex motion // Trans. Roy. soc. Edinburgh.—1869. — 25. —Pt.1.—pp.217—260.
↑ Batchelor J. Introducere în dinamica fluidelor. M.: Mir.-1973.-760 p.
↑ Bjerknes V. Despre dinamica vârtejului circular: cu aplicații la atmosferă și vârtejul atmosferic și mișcarea ondulatorie // Geofysiske publikationer.—1921.— 2. —No 4.—88p.
↑ Bjerknes V. , Bjerknes J., Solberg H., Bergeron T. Physicalische hydrodynamik.-Berlin.-1933.
↑ Fridman A. A. Teoria mișcării unui fluid compresibil și aplicarea sa la mișcarea atmosferei // Colecția geofizică .- 1927. - 5 . - P. 16-56 (Fridman A. A. Lucrări alese. M .: Nauka. - 1966 —S.178-226).
↑ Fridman A. A. Experiență în hidromecanica fluidelor compresibile Copie de arhivă din 3 martie 2016 la Wayback Machine . L.-M.: ONTI.-1934.-370 p.
↑ Monin A.S. Fundamentele teoretice ale hidrodinamicii geofizice.- L .: Gidrometeoizdat.-1988.- P.17.
↑ Kriegel A. M. Despre neconservarea vitezei de circulație într-un fluid rotativ turbulent // Letters to the Journal of Technical Physics . — 1981.
↑ Krigel AM Vortex evolution // Geophys. Astrophys. Dinamica fluidelor.—1983. — 24. —p.213—223.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare